采用基于Bloch球面描述的量子比特编码,种群中第i个染色体q_i编码形式:

q_i=[|φ_i1〉,|φ_i2〉,…,|φ_in〉](i=1,2,…,m)(2)

式中: m为种群规模; n为优化空间维度; |φ_ij〉表征第i个染色体的第j维变量:

|φ_ij〉=cos(θ_ij/2)|0〉+sin(θ_ij/2)e^iφ_ij|1〉(3)

式中: θ_ij∈[0,π]; φ_ij∈[0,2π]; e^iφ称为相对相位因子,采用Bloch球面描述后^[21],量子比特属于由连续变量θ和φ所刻画的矢量空间。在量子计算理论中,染色体观测的实质是|φ_ij〉在基矢量泡利矩阵σ_x,σ_y和σ_z下的投影变换,即:

x_ij=(|φ_ij〉)^Tσ_x(|φ_ij〉)

y_ij=(|φ_ij〉)^Tσ_y(|φ_ij〉)

z_ij=(|φ_ij〉)^Tσ_z(|φ_ij〉)(4)

根据量子计算原理,一个染色体量子比特|φ_ij〉包含三部分Bloch坐标,即对应着三个潜在最优解。由于Bloch坐标位于区间[-1,1],需要进行解空间变换。即假定待优化问题中第i个染色体第j位量子比特|φ_ij〉变量取值区间为[A_j,B_j],则解空间变换关系:

{X_ij=1/2[A_j(1-x_ij)+B_j(1+x_ij)]

Y_ij=1/2[A_j(1-y_ij)+B_j(1+y_ij)]

Z_ij=1/2[A_j(1-z_ij)+B_j(1+z_ij)](5)

为了有效利用量子编码的叠加特性,在Bloch球面进行寻优搜索,假定当前进化代数内最优个体的第j个量子比特为|φ_best,j〉,当前种群中第i个个体q_i的第j维量子比特为|φ_ij〉。

图5 Bloch量子位旋转示意图
Fig.5 Diagrammatic sketch of Bloch quantum rotation

最优进化策略是在Bloch球面上将|φ_ij〉向着|φ_best,j〉旋转,如图5所示,定义旋转轴矢量:

n=q_ij×q_best,j(6)

根据量子计算原理,在Bloch球面上,以n为旋转轴,将|φ_ij〉向|φ_best,j〉旋转角度δ的选择操作:

R(δ)=exp(-iδ/2n^-·σ)=cosδ/2I-isinδ/2((n·σ)/(‖n‖))(7)

式中:I为单位矩阵; n^-为模为1的旋转轴向量; σ为泡利分量。由此可知,相应的染色体进化方式为:

|φ_ij〉=R(δ)|φ_ij〉(8)

上述进化方式的实质为:当量子位在Bloch球面上向着目标位移动时,经过的路径为当前量子位和目标量子位Bloch球面大圆劣弧。同时,为了防止种群进化陷入局部最优,引入了基于Hadamard门的量子变异策略和量子灾变策略^[12〗。

波形优化基于波纹管设计方案,假定总壁厚和波数不变,波形参数取值范围见表1。为了保证最大摇摆角度下相邻波纹管不接触,取波节之间的静态间隙大于8 mm。

表1 结构参数分布范围
Tab.1 Distribution range of structural parameters

波纹管组件在承受高温、高压燃气作用的同时,还要补偿摇摆变形,保证发动机可靠工作。因此承压性能和变形补偿性能是衡量波纹管组件结构特性的两个关键指标,具体而言,周向膜应力可衡量耐压强度指标,而轴向刚度可表征其补偿性能。波形优化数学模型为:

{minF(x)=(f_s(x),f_k(x))

max(σ_von(x))σ^-_s

max(σ_m(x))σ^-_m

δ_s8 mm

x∈XRⁿ(9)

式中:f_s (x)和f_k (x)分别表示周向膜应力均值和轴向刚度; 下标m)分别表示周向膜应力均值和轴向刚度; 下标应力。波形优化属于多目标优化,采用线性加权将其组合成单优化目标,并将轴向膜应力和轴向刚度分别进行归一化无量纲处理。同时,采用了基于响应面的近似代理模型技术替代直接有限元求解,避免在优化进程中采用直接有限元求解导致计算成本大、时间长等问题,波形优化流程见图6和表2。

分别采用遗传算法(Genetic Algorithm,GA)、量子遗传算法(Quantum Genetic Algorithm,QGA)和BQGA进行波形优化,设定所有算法统一进化500代,每个算法分别进行30次独立的优化计算,优化结果的统计值如表3所示,典型寻优过程见图7。

计算结果表明,基于三链基本编码形式的BQGA算法能够较快搜索到最优解,兼具寻优效率和寻优能力强的综合优势。优化进程中采用近似模型替代仿真程序,显著减少了仿真计算规模,降低了设计空间搜索的资源耗费,极大地提高了寻优效率。综合三种种寻优算法得到的理论最优波形参数见表4和图8。

相对于基准方案,理论优化方案的膜应力均值减少了8.6%,轴向刚度减少了41.32%,即在提高了多层波纹管承压能力的同时,还有效减少了变形补偿刚度。对比图8波形几何结构发现,基准方案波纹管与铠装环挤压接触间隙较小,且波形层数大于理论优化方案,从而导致轴向变形刚度增大。同时,理论优化方案的波高和波距都相对减小,从而缩短了波纹管组件的轴向和径向尺寸,可以从整体上减少燃气摇摆组件的外廓尺寸和总质量。

图6 基于BQGA的波形优化流程
Fig.6 Optimization processes of bellows based on BQGA

表2 基于BQGA的波形优化步骤
Tab.2 Optimization procedures of bellows based on BQGA

表3 优化算法寻优结果比较
Tab.3 Comparison of optimization results for different algorithms

图7 波形优化寻优过程比较
Fig.7 Comparison of optimization processes for different algorithms

表4 波形参数优化结果
Tab.4 Optimization results of parameters of bellows

图8 波纹管波形优化结果比较
Fig.8 Comparison of optimization results of bellows