液体火箭发动机是载人登月、深空探测、重型空间站等活动的重要动力系统^[1],由于其结构及工作环境的复杂性,研制的技术难度较大。目前国内液体火箭发动机沿用性能设计为主、静强度分析校核、故障问题为导向的动强度试验验证考核的研制模式。这种设计模式容易导致产品有较大呆重,发动机推重比低,而薄弱环节的可靠性依然不足。国外先进液体动力设计采用结构设计与动力学设计同步进行的方案(图1),在设计制造涡轮泵、喷管、推力室等各部件的同时建立其有限元模型,通过开展部件级模态试验不断修正各部件的有限元模型,最终通过合成的整机模型计算界面载荷和应力应变水平,这种设计方式由于在发动机结构设计阶段考核了发动机的动强度,不仅缩短了研制周期,而且避免了不必要的结构强度冗余,大大提高了发动机性能^[2]。

图1 Vulcain发动机力学设计过程[2]
Fig.1 Mechanical design process of Vulcain engine[2]

为了节约成本,可重复使用成为未来液体火箭发动机的发展趋势。计算结构疲劳寿命,首先必须清楚知道结构的动载荷。美国在1996年启动的MC-1发动机项目,其研究目标是制造低成本可重复使用的发动机,该发动机界面载荷计算采用如下分析方法:由发动机试车时关键部位测点的一组加速度响应PSD曲线定义发动机动力学环境,通过在有限元模型上(涡轮泵、燃烧室、燃气发生器)施加一组等效激励再现该动力学环境。图2 为MC-1发动机多源激励试验研究,这也是NASA第一次采用发动机整机结构动力学模型计算界面载荷,不仅得到了局部结构修改导致整个发动机中载荷传递路径的变化情况,而且振动响应仿真结果和热试车数据取得很好的一致性^[3]。

图2 MC-1发动机多源激励试验[3]
Fig.2 Multi-source excitation test of MC-1 engine[3]

目前国内液体火箭发动机结构设计难以考虑发动机动强度,原因主要有两点:1)结构动力学模型精度不足以进行动力学设计; 这是由于发动机组成结构复杂、连接与约束形式多样化,特别对于螺旋铣槽、夹层结构等,难以准确建立其动力学模型。2)模型施加多大的等效力载荷不清楚,多源载荷等效方法欠缺。模型修正技术作为液体动力技术基础研究的一个重要研究方向^[4],是提高液体火箭发动机结构动力学模型精度的有效途径,本文对其在液体火箭发动机中的应用情况作介绍,并对目前模型修正技术进行分类,重点介绍适用于液体火箭发动机的基于灵敏度的模型修正方法,最后指出模型修正技术的未来发展趋势。

基于实测振动信息来修正结构的有限元模型,使得有限元模型和试验模型之间的误差在给定的范围内达到最小,称为动力学模型修正。根据修正对象不同,本质上有两种不同的模型修正方法:矩阵型和参数型。矩阵型修正方法直接对质量、刚度和阻尼矩阵进行修正,修正后可以精确的再现试验模态参数,但该方法不考虑实际物理结构,修正后有限元节点的连通性不能保证,目前该方法逐渐被淘汰。参数型修正方法通过迭代修正有限元模型中不确定的物理参数,通常是材料弹性模量、连接刚度等,修正后的质量矩阵和刚度矩阵有物理意义,且修正结果可以为将来再对相似结构进行建模时提供借鉴。正是由于这些优势,参数型修正方法成为目前研究的主流。

模型修正技术自60年代中期发展至今,已广泛应用于航空航天^[27-28]领域,模型修正技术从单目标优化发展到多目标优化^[29-30],从确定性模型修正到统计方法用于模型修正^[31]。众多学者在这一领域做出了突出贡献,提出了各种各样的修正方法,Mottershead^[32]、朱宏平^[33]、李辉^[34]、杨智春^[35]、郭勤涛^[36]等人从不同角度对模型修正问题进行了述评和总结,本文重点关注的是参数型模型修正方法,依据是否考虑试验结果不确定性,参数型修正方法分为确定性模型修正和随机模型修正两大类(图 12)。确定性模型修正不考虑试验结果的不确定性,认为试验结果是确定且唯一的,模型修正过程是调整模型参数使之精确再现该试验结果。目前确定性模型修正技术逐渐趋于完善,归纳起来,确定性修正方法主要包括经典的基于灵敏度的修正方法^[37-38],响应面法^[39-40〗,基于优化算法的修正方法^[41]三类,目前发展较为成熟的是基于灵敏度的模型修正方法。

基于灵敏度的修正方法假设试验结果是原始有限元模型的扰动,通过修改模型中参数使得试验结果和理论结果足够接近。只有当初始有限元模型和试验结果差别较小,这种方法才有效,该方法需要计算模态参数或者频响函数对于设计变量(杨氏模量、密度、截面积、几何尺寸)的灵敏度,灵敏度定义为设计参数发生微小改变时,模态参数改变量与设计参数变化量的比值。

假设测量响应与理论计算之间的误差为ε

ε=z_T-z=z_T-(z_j+S_jΔθ)=Δz_j-S_jΔθ(1)

式中:下标j表示第j次迭代值; z_T是测量值; z是理论计算值; S是灵敏度矩阵; Δθ=θ_j+1-θ_j是设计变量的改变量。式(1)中已经将理论计算结果z在z_j处Taylor展开。

建立如下形式的目标函数

J=ε^TW_zzε(2)

式中权矩阵W_zz是试验结果准确程度的度量。通常情况下测量的响应数目比设计参数要多,这时方程是超定的,要获得严格满足ε=0的方程的解是不可能的,只能获得最小二乘意义下的解。将式(1)代入式(2),并令J/Δθ=0,可以求得满足目标函数最小的Δθ,建立如下递推关系

θ_j+1=θ_j+[S^T_jW_zzS_j]^-1S^T_jW_zz(z_T-z_j)(3)

实际计算中,灵敏度矩阵S可能是秩亏的或者是接近秩亏的,这时采用式进行计算,待修正参数每次迭代都会有大的波动而不收敛,称为病态问题,处理病态问题的方法包括正则化、奇异值分

图 12 有限元模型修正技术分类
Fig.12 Classification of FE model updating technique

J(Δθ)=ε^TW_zzε+λ²Δθ^TW_θθΔθ(4)

参数权值矩阵W_θθ的选择应反映出对初始估计参数的不确定性大小,当W_θθ=I时(I是单位矩阵),就是经典的Tikhonov正则化方法^[45]。λ是正则化常数,用来平衡误差项J_ε(θ)=ε^TW_zzε和参数改变项J_θ(θ)=Δθ^TW_θθΔθ,如果λ过小,则新问题接近于原始的病态问题,如果λ过大,则新问题的解会严重偏离原问题。由式(4)可知,误差项和参数改变项都是λ的函数:J_ε(λ),J_θ(λ)。λ通常通过绘制L曲线给出,其位于L曲线的拐角处,L曲线是随着λ变化,反映(J_ε(λ))^1/2和(J_θ(λ))^1/2 变化规律的图形。Hansen^[46]指出,在合理的信噪比和满足Picard条件下,L曲线在λ<λ_opt时是近乎竖直的,λ>λ_opt时迅速变为水平的。

得递推关系

θ_j+1=θ_j+[S^T_jW_ZZS_j+λ²W_θθ]^-1S^T_jW_ZZ(z_T-z_j)_T5)

基于灵敏度的模型修正方法在过去几十年中取得了飞速的发展,已经成功应用于修正如航空发动机、直升机等大型复杂结构^[21-22]。目前可以使用的模型修正商业软件如FEMTools,SDTools也都是基于灵敏度分析的,但是成功修正模型需要工程师的工程经验和对所建立模型的深刻认识。闫松^[19]采用基于灵敏度的序列二次规划算法成功对液体火箭发动机喷管的动力学模型进行了修正。Mezzapesa等^[47]将无人机分成机身、机翼等各个子部件,以频率和振型为目标函数采用商业软件FEMtools对各个部件进行修正,修正后的各部件理论和试验的固有频率和MAC值符合较好,但采用MPC刚性单元合成整机后理论和试验值相关性较差,指出今后修正目标集中在对于连接的模拟上。

目前总体来讲国外液体火箭发动机模型精度较高,模型修正技术应用较多,对于理论模型与试验结果相关性有定量的评价标准。误差定位技术、修正参数选取技术等已经应用于如航空发动机、直升机等大型结构上; 相对而言,国内对于液体火箭发动机模型修正研究虽然起步较晚,但目前的优势是计算机能力较七、八十年代大大提升,使得我们不再限制于梁单元,壳单元等,可以建立一个更加完善、精细的液体火箭发动机动力学模型。此外,新的测试技术,如三维激光扫描测振技术在液体火箭发动机领域的应用将会大大促进相关分析、模型修正等技术的发展。基于灵敏度的优化算法目前已发展较为成熟,一般可以在较少的迭代步内收敛,在处理复杂的工程问题时,直接应用成熟的商业软件往往可以大大减少工作量。实际工程中获得的试验结果往往是不精确、不完备且不确定性的,未来模型修正将会更多的从确定性模型修正向随机模型修正发展。