本节针对由多个子系统串联组成的重复使用火箭发动机系统,在均等分配使用寿命末时刻各单元可靠性的基础上,介绍面向重复使用全过程的结构可靠性分配方法。

考虑一个由N个子系统串联组成的复杂系统,系统的结构可靠性指标为:使用寿命T时刻末可靠度不小于R_s(T)。采用等可靠度分配法得到第i个子系统T时刻末的可靠度为:

R_i(T)=[R_s(T)]¹/N i=1,2,…,N(1)

采用等可靠度分配法可以将寿命末时刻系统可靠性均等分配各个子系统,消除了寿命末时刻子系统的“短板”问题,但是由于各子系统的可靠度函数不同,即使在寿命末时刻各子系统的结构可靠度相同,但在重复使用过程中的某些时刻子系统的可靠度仍存在差异,即仍存在“短板”。为使各个子系统在整个重复使用过程中都具有相近的可靠性水平,在等分配结果的基础上,引入修正因子K_i(i=1,2,…,N),得^[3]:

(2)

修正后的系统寿命末时刻的可靠度为:

(3)

为衡量重复使用过程中各系统可靠度的差异,引入样本数据的方差:

(4)

简便起见,在重复使用过程中取特定的时刻t_j(如t_j=0.1T,0.2T,…,0.9T,T)考察各子系统结构可靠度的偏差,定义目标函数:

(5)

可知,目标函数为修正因子K_i的函数,采用优化算法可以得到使目标函数最小的修正因子的最优值。进而可得到修正后的使用寿命末时刻各子系统的可靠度。

遗传算法是一种基于生物遗传和进化的自适应概率优化算法,最早由美国密执安大学的Holland提出^[4],现广泛应用于液体火箭发动机的优化设计中^[5-6]。

其基本运算过程如下^[4]:

1)初始化,设置进化代数计数器t←0; 设置最大进化代数T; 随机生成M个个体作为初始群体P(0);

2)个体评价,计算群体P(t)中各个个体的适应度;

3)选择运算,将选择算子作用于群体;

4)交叉运算,将交叉算子作用于群体;

5)变异运算,将变异算子作用于群体,群体P(t)经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P(t+1);

6)终止条件判断,若t≤T,则t←t+1,转到2); 若t>T,则以进化过程中所得到的具有最大适应度的个体作为最优解输出,终止计算。

发动机单次工作时间为180 s,重复使用50次,即总工作时间为9 000 s。发动机的结构可靠度不低于0.96。即R_s(T)≥0.96。

参考文献[12]给定各子系统的形状参数如表1所示。

表1 各子系统形状参数
Tab.1 Form parameters of each subsystem

按照等分分配原则,得到各子系统在使用寿命末时刻的可靠度为:

R_i(T)=[R_s(T)]^1/6=(0.96)⁶=0.993 22 i=1,2,…,6(9)

引入修正因子K_i(i=1,2,…,6),得到修正后的各子系统的寿命末时刻可靠度:

(10)

取发动机使用寿命全过程中的0.1T,0.2T,…,0.9T,T时刻(即第5,10,…,45,50次使用时)作为可靠度偏差的考核点,得目标函数:

(11)

为将公式表示为K_i的函数,需要得到R_i'(j/(10)·T)和R_i'(T)的关系式,即:

R'_i(j/(10)·T)=[R_i'(T)]^(j/(10))β(12)

采用遗传算法求得修正因子的最优估计值及各单元修正前后的使用寿命末的可靠度,如表 2所示。

表2 计算结果
Tab.2 Calculation results

进而得到优化后各子系统寿命分布函数中的尺度参数θ_p及等分配法得到的尺度参数θ_e,如表 3所示。

表3 尺度参数计算结果
Tab.3 Scale parameters results

图2和图3给出了修正前后可靠度随工作时间的变化曲线,图4给出了等可靠度分配各考察点子系统可靠度偏差(ED)与修正后各子系统可靠度偏差(PD)。

图2 可靠度随时间变化过程(等可靠度分配)
Fig.2 Time-dependent reliability(equal reliability allocation)

图3 可靠度随时间变化过程(优化后)
Fig.3 Time-dependent reliability(after optimization)

从图表中可以看出,经过优化后的各子系统可靠度除在使用寿命末时刻外,在其余各考察点的偏差均比等分配法小。从目标函数的角度看,按照等分配结果计算得到的目标函数L=3.734×10^-7,优化后得到的目标函数L'=2.416×10^-7。综上可知,经过优化后的各子系统可靠度在重复使用全过程中的“短板”现象减弱。

图4 考察点各子系统可靠度方差
Fig.4 Reliability variance of each subsystem at check points

上文在等分配的基础上以各子系统在任务过程中可靠性的偏差最小为目标函数,对各子系统的可靠度进行分配。在液体火箭发动机研制过程中,由于各子系统的复杂度、重要度以及环境条件等不同,实现所要求的可靠度的难易程度也不同,若从成本角度考虑,可以在已有试验数据及专家经验的基础上添加约束条件,例如,在使用寿命结束时,限定燃料泵的可靠度要高于燃料涡轮,即:

R_turs(T)<R_pums(T)(13)

在此限制条件下,得到各子系统在使用寿命结束时刻的可靠度如表4所示。

表4 考虑约束条件的计算结果
Tab.4 Optimized results with constraints

图5 可靠度随时间变化过程(考虑约束)
Fig.5 Time-dependent reliability(with constraints)

由表4可以看出,添加约束条件后在使用寿命末时刻燃料泵的可靠性为0.993 39,燃料涡轮的可靠性为0.993 38,满足约束条件。

各子系统在使用寿命末时刻的可靠性指标有所调整,目标函数L^″=2.423×10^-7,与无约束条件相比,在重复使用中间过程的可靠性偏差总和略有增加,但仍低于等分配计算得到的偏差值。