以某发动机涡轮叶片(图2)为研究对象,开展叶片热结构和动力响应分析。考虑到涡轮周向的循环对称性,取一个叶片进行仿真计算,为了合理施加约束和载荷,同时取部分叶冠和轮盘进行结构分析,计算模型如图3所示。对轮毂中心线上的节点施加径向约束,约束中心线下游端面中心轴半径范围内节点的轴向位移; 对叶冠和轮毂周向面上的节点施加耦合约束,得到循环对称边界,约束轮盘突台周向面上节点的周向位移。热载荷和气动载荷施加到所有与燃气接触的面,包括叶冠表面、叶片表面及轮毂上表面,通过建立表面效应单元,将流场仿真得到的叶片对流换热系数、主流温度和气动压力插值到结构分析模型上。

图2 涡轮整体轮盘几何模型
Fig.2 Geometric model of turbine blisk

图3 涡轮叶片结构分析模型
Fig.3 FE model of turbine blade

涡轮叶片相关的几何、材料、载荷参数众多,加上疲劳寿命预估中流场和结构分析计算量大,难以分析所有的参数,本文选取影响疲劳寿命的主要参数作为输入随机变量进行研究。

涡轮叶片的低周疲劳损伤取决于叶片的瞬态热结构响应,相关参数包括:几何参数、材料参数(包括热性能参数、力学性能参数等)及载荷参数(热载荷、离心载荷等)。Haubert^[8]指出,导热相关参数对寿命的影响明显,而几何参数的影响小,因此,选取热膨胀系数作为随机变量。研究表明^[17],材料参数中弹性模量和密度对低周疲劳寿命影响可观,选其作为随机变量。由于疲劳损伤与材料疲劳性能参数直接相关,选取材料疲劳强度系数σ'_f、疲劳塑性系数ε'_f、疲劳强度指数b、疲劳塑性指数c作为随机变量。叶片的热载荷主要由涡轮入口参数决定,因此,选取来流的入口总温、总压作为随机变量。涡轮转速作为离心载荷,选取为随机变量。

涡轮叶片的高周疲劳损伤取决于叶片在尾流激振力作用下的响应,而叶片响应由叶片的模态特征和激励特征决定^[18]。影响模态特征的参数包括叶片结构尺寸、弹性模量、密度等,已选取弹性模量和密度作为随机变量。激励特征包括尾流激振力的频率、幅值等,在静叶数目一定的情况下,涡轮转速决定了激振力载荷的主要频率分量,选取转速作为随机变量。另外,研究表明,动静叶轴向距离对叶片上的气动力幅值有显著影响^[19-20],考虑到装配时可能产生的误差和随机性,选取动静叶轴向距离作随机变量。

最终,选取了包括动静叶轴向距离d、涡轮入口总温T_0,in、总压p_0,in、涡轮转速n_r、材料的弹性模量E、密度ρ、热膨胀系数α和低周疲劳性能参数σ'_f,ε'_f,b,c等11个参数作为概率寿命分析的随机变量,假设各变量服从正态分布,并且相互独立,结构参数变量、载荷参数变量、材料参数变量的变异系数(v,随机变量标准差与均值之比)^[21]分别取为5%,3%,2%,选取的变量及其分布如表1所示。

本文采用带交叉项的二次多项式对涡轮叶片疲劳寿命进行响应面拟合,参数变量对照表如表2所示,模拟的输出变量函数形式为

F(x)=a₀+∑ⁿ_i=1b_ix_i+∑ⁿ_i=1c_ix²_i+∑_ij(i<j)d_ijx_ix_j(1)

采用26组样本点进行响应面拟合,得到叶片疲劳寿命响应面拟合系数如表3所示,取10组样本点进行误差分析,多元确定系数R²为94%,大于90%,满足样本可信度标准。

表1 随机变量及分布
Tab.1 Dispersion of random variables

表2 变量对照表
Tab.2 Variables

表3 疲劳寿命响应面拟合系数
Tab.3 Fitting coefficient for response surface of fatigue life

取100个样本点,采用拉丁超立方设计方法在叶片疲劳寿命响应面上进行DOE(Design of Experiments)分析,得到疲劳寿命对各随机变量的敏感度如图4所示。

图4 疲劳寿命对各随机变量的敏感度
Fig.4 Sensitivity of fatigue life to random variables

在疲劳寿命响应面上,对随机变量进行10 000次抽样模拟,得到的疲劳寿命频率分布如图5所示,可以看出,疲劳寿命呈明显的偏态分布。分别用威布尔(Weibull)、对数正态(Lognormal)、Logistic、Log-Logistic分布拟合疲劳寿命概率密度,其中,Log-Logistic分布函数与抽样模拟结果吻合最好。

Log-Logistic分布的概率密度函数

f(N)=β/α((N-α)β-1)/([1+(N-α)^β]²) N>0(2)

式中:α为尺度参数; η为尺度参数; β为形状参数。累积概率分布

F(N)=(N^β)/(α^β+N^β) N>0(3)

图5 疲劳寿命概率密度
Fig.5 Probability density of fatigue life

图6 疲劳寿命累积概率密度
Fig.6 Cumulative probability density of fatigue life

对于某一寿命待评估的发动机涡轮,其疲劳寿命可靠度可定义为该涡轮在指定的工作条件下,寿命能够达到指定寿命的概率,即

R(N_d)=P(N_f≥N_d)(4)

式中:N_d为指定的寿命指标; N_f为满足一定随机分布的涡轮疲劳寿命。

根据以上定义,叶片疲劳寿命可靠度

R(N_d)=1-P(N_f<N_d)(5)

式中:P(N_f<N_d)可以看作涡轮叶片的累积失效概率,即不可靠度,记为F(N_d),由式(3)可以得到不可靠度

F(N_d)=(N^β_d)/(α^β+N^β_d)(6)

因此,发动机涡轮叶片疲劳寿命可靠度

R(N_d)=1-F(N_d)=(α^β)/(α^β+N^β_d)(7)

寿命评估重点关注高可靠度区域,由图6可知,低累积失效概率区域内,拟合结果与模拟试验结果基本一致,因此,本文给出的疲劳寿命可靠度是合理可信的。图7给出了涡轮疲劳寿命可靠度与指定寿命的关系,保证可靠度达到99.87%的疲劳寿命最大为71次。

图7 疲劳寿命可靠度
Fig.7 Reliability of fatigue life

随机变量的取值范围直接影响叶片疲劳寿命的分布,从而影响疲劳寿命可靠性,在实际使用过程中,可以通过控制加工、装配及工作过程中的调节精度等,控制随机变量的分散度。在上文分析基础上,通过控制随机变量的分散度(用变异系数v来反映),研究各随机变量分散度对疲劳寿命及可靠性的影响。

涡轮入口温度T_0,in的变异系数分别为3%和2%时,涡轮叶片疲劳寿命的可靠度如图8所示,可以看出,当入口温度分散度低时,对于某一指定寿命(高可靠度区域),低分散度下的可靠度略高于高分散度下的可靠度,当变异系数为2%时,叶片安全寿命(保证可靠度达到99.87%的最大疲劳寿命)为140次。

图8 不同温度分散度的疲劳寿命可靠度
Fig.8 Reliability of fatigue life with different temperature dispersion

图9 不同分散度的疲劳寿命可靠度
Fig.9 Reliability of fatigue life with different variable dispersion

表4 不同分散度时叶片安全寿命
Tab.4 Blade life with different variable dispersion