图1和图2展示了轴向柱塞泵结构的三维与平面图。当柱塞处于吸油行程时,柱塞腔的自由容积增大,吸进相应体积的低压油液; 反之,排出高压油液。柱塞旋转与往复直线运动合成即柱塞球头和滑靴在斜盘上的运动轨迹。柱塞泵通过调节斜盘的角度和缸体的转速来改变供油量,并保证泵出口压力恒定。

图1 轴向柱塞泵三维图
Fig.1 3D drawing of axial piston pump

图2 轴向柱塞泵平面图
Fig.2 Plan view of axial piston pump

当电动机的转速作用于缸体传动轴时,相当于通过弹簧阻尼器产生扭矩,从而带动具有一定惯量和阻尼的缸体转动。因此,缸体实际转速相对于来自电动机的恒定转速具有一定差别。

缸体实际角位移满足下列微分方程

J_g(d²θ₁)/(dt²)+C_g(dθ₁)/(dt)=T_net(1)

式中:θ₁为缸体实际角位移; J_g为缸体转动惯量; C_g为缸体转动阻尼系数; T_net为作用在缸体上的净力矩,公式为

T_net=T_r-T_p(2)

其中

T_p=∑ⁿ_i=1A_pp_iφ_i

T_r=k(θ₁+θ₂)+r(θ^·₁+θ^·₂)

式中:T_p为来自于柱塞的力矩; A_p为柱塞底端横截面积; p_i为柱塞腔压力; φ_i为旋转运动到直线运动的转换信号; T_r为来自于弹簧阻尼器的力矩; θ₂为电动机角位移; k为缸体刚度; r为缸体阻尼比。

轴向柱塞泵斜侧向视图如图3所示,柱塞球头中心即滑靴在斜盘上的运动轨迹为OAB,柱塞底端进出油口在配油盘上的轨迹为O₁A₁B₁,OAB在斜盘上的投影为OA₂B₂,与配油盘上的O₁A₁B₁对应。以柱塞球头在斜盘投影上的死点A₂作为柱塞泵轴向位移原点,以柱塞球头指向柱塞底端方向为正,分析各个柱塞球头中心实际轴向位移与速度。

图3 轴向柱塞泵斜侧向视图
Fig.3 Oblique side view of axial piston pump

s_p=BB₂=-B₂Ctan α=-Rcos θ tan α(3)

式中:R为柱塞轴线在缸体中的分布圆半径; α为斜盘倾角,图示方向偏转角度为负; θ为柱塞相对于初始位置上死点A₁转过的角度。

柱塞球头中心的轴向速度为

v_p=Rθ^·sin θ tan α-Rα^·cos θ sec² α(4)

由于泄漏量较小,在建立模型时忽略泄漏。由于油液压缩性的存在,当流入柱塞腔的流量不为零时,柱塞腔压力产生变化。相应的柱塞腔压力变化微分方程模型为

V/(β_e)(dp)/(dt)=q_i-q_o(5)

式中:V为柱塞腔容积; q_i为柱塞运动形成的体积流量,q_i =Av_p; q_o为通过配油盘节流孔的体积流量; β_e为油液体积模量。当油液压力较大时,体积模量为常值,但当油液压力较小时,体积模量与压力大小有关,如图4所示。

图4 体积模量随压力的变化
Fig.4 Change of bulk modulus with pressure

配油盘油液过流面积变化如图5所示。

图5 油液过流面积变化示意图
Fig.5 Schematic diagram of overflow area change

当柱塞腔出口完全位于腰形孔内时面积不变,但柱塞进出腰形孔的面积却难以用解析表达式计算,因此采用数据插值的方法计算,如图6所示。

图6 油液过流面积随角位移插值
Fig.6 Overflow area interpolation with angular displacement

式中:p_i为柱塞腔压力; p为泵出口压力; C_d为节流口流量系数; A_j为腰形节流孔面积。

其中,流量系数是极其关键的参数,直接影响压力流量大小。流量系数与压差大小及临界流量数有关,遵循公式^[20]为

C_d=C_{d max}tanh((2λ)/(λ_cir))(7)

式中:C_{d max}为最大流量系数,其值取0.7; λ_cir为临界流量数,表征孔口的粗糙程度; λ为流量数,计算公式为

式中:ν为运动黏度系数; D_h为水力直径。

由图7可见,当流量数λ大于临界流量数λ_crit=100时,流量系数C_d近似为常数; 若λ较小时,C_d与流量数近似成线性关系。

图7 流量系数随流量数的变化
Fig.7 Change of flow coefficient with flow number

柱塞泵的AMESim仿真模型如图8所示,其中包括缸体惯量模型与柱塞超级元件模型。其中,柱塞超级元件模型中包括柱塞运动模型、配油盘模型及柱塞腔模型,如图9所示。此外,还包括整个系统仿真所需的电机、负载、油箱等辅助组件模型。AMESim中利用漏油子模型表征漏油,利用流体属性元件表征流体参数随温度、压力等的变化规律,通过调整模型参数达到设置元件结构信息与初始条件的目的。

图8 柱塞泵AMESim仿真模型(五柱塞)
Fig.8 AMESim simulation model of piston pump (five pistons)

图9 单柱塞超级元件内部模型
Fig.9 Internal model of single piston super component

虽然在AMESim中可以较为简单地建立模型,但由于每个图标所代表的子模型或方程皆封装于内部,因此造成了用户对模型内在的建立过程理解不深,而这一过程恰恰是模型分析中关键部分。通过MATLAB编程可以加深对数学建模过程的每一细节的理解,从而准确分析影响因素。数学模型参考前述的柱塞泵各个子数学模型,利用自编的经典四级四阶定步长Runge-Kutta算法进行求解。

Runge-Kutta算法的具体迭代格式为

u_n+1=u_n+1/6h(K₁+2K₂+2K₃+K₄)

其中

{K₁=f(t_n,u_n)

K₂=f(t_n+1/2h,u_n+1/2hK₁)

K₃=f(t_n+1/2h,u_n+1/2hK₂)

K₄=f(t_n+h,u_n+hK₃)

由于吸油排油过程中,柱塞泵内腔室较小,压力存在急剧变化,使得方程自身带有刚性特点,因此需要设置较小的步长才能精确求解方程,最终步长设置为10^-5。

柱塞泵的瞬时供油量为处在排油区的各个柱塞排油量的总和。图 10与图 11分别给出了各个柱塞泵瞬时供油量之和与泵出口流量,两者平均值基本相同,但瞬时供油量之和在每个周期内具有较大的瞬间锯齿波动,这是由于各个柱塞在旋转过程中,当柱塞刚进入配油盘腰形孔时,泵出口压力瞬间大于柱塞腔压力,因此出现瞬间锯齿状流量负值,形成油液倒流。

在柱塞泵内出口处有一定体积的腔室,可以将此部分瞬间锯齿状流量负值抵消,最终形成图 11所示的较为平缓的泵出口流量脉动,即泵出口腔室起到阻尼作用。此外,泵出口流量存在一定频率脉动,脉动频率可由转速与柱塞数之积进行理论计算,其值为200 Hz,与图中仿真结果一致。

图 10 五柱塞排油流量总和
Fig.10 Total discharge flow of five pistons

图 11 泵出口流量的AMESim与MATLAB仿真对比
Fig.11 Comparison of pump outlet flow between AMESim and MATLAB simulation