夹具结构实物图和有限元模型分别如图1和图2所示,试验时,通过螺栓将夹具底面与振动台滑台连接。设定夹具与滑台螺栓连接的4种简化模型如下:

Case 1:模型中不考虑滑台结构,在夹具底板上的螺栓孔处设定固定约束条件,为目前最常见的处理方法;

Case 2:假定滑台为刚性结构,在螺栓预紧力作用下,夹具与滑台的接触面为刚性面,在数值模型中对夹具底面设置固定约束条件;

Case 3:假定滑台为弹性结构,夹具与滑台接触面紧密贴合,运动具有一致性,在此采用Tie命令进行绑定,在滑台模型上设置对应的边界约束条件;

Case 4:将吉村允孝法运用到螺栓结合部刚度等效模型中,如图3所示,采用一组弹簧单元来模拟螺栓连接方式,其中,一组弹簧单元包含一个法向弹簧与2个切向弹簧,弹簧两端分别连接在夹具与滑台螺栓孔处,并在滑台模型上设置与Case 3工况相同的边界约束条件。

图1 夹具实物图
Fig.1 Fixture photo

图2 夹具和振动台有限元模型
Fig.2 Finite element models of fixture and vibration table

图3 弹簧单元设置示意图
Fig.3 Schematic diagram of spring units

夹具与滑台结构材料分别为2A12和镁铝合金,材料性能参数如表1所示。

表1 夹具与滑台结构材料参数
Tab.1 Material parameters of fixture and vibration

在研究螺栓结合部刚度问题中,国内外学者总结出了一些特定条件下结合部刚度的计算公式和经验数据^[8-10],其中,吉村允孝研究表明,当结合面平均接触压力相同时,其单位面积的动态特性具有相似性^[7]。可通过对结合面参数求积分获得其等效刚度和阻尼,在此,假设作用于oxy平面的微元dxdy压力为p,则有

k_z=k₁(p)dxdy

k_x=k_y=k₂(p)dxdy(1)

式中:k_z为法向刚度; k_x、k_y为切向刚度; k₁(p)和k₂(p)分别为单位面积的法向和切向刚度值。对上述公式求积分,可得任意面积的结合面刚度值

K_z=k₁(p)dxdy

K_x=K_y=k₂(p)dxdy(2)

螺栓连接时,结合面接触压强近似呈轴对称环形分布,上述公式等效为

K_z=k₁(p)dxdy=∫2πrk₁(p)dr

K_x=K_y=k₂(p)dxdy=∫2πrk₂(p)dr(3)

如图4所示,在螺栓预紧力作用下,结合面处的接触压强分布函数可用下式表述^[11-12]

p(r)=aFexp(-(r-b)²/c²)(4)

其中

F=T/kd

式中:r为接触压强分布半径; T为螺栓扭矩; k为扭矩系数,通常取0.2; d为螺栓公称直径; a,b,c为拟合参数,与预紧力F数值无关^[13]。

研究表明^[14],如图4所示结合部刚度与接触压强密切相关,存在以下关系

k₁(p)=αp^β(r)(5)

式中α和β为与结合面特性相关的常数。

图4 结合面接触压强分布情况
Fig.4 Distribution of contact pressure on the bolted joint interface

结合式(3)～式(5),可得结合面法向刚度

Kz=∫rmrh2πrk1(p)dr

=∫rmrh2πrα1(aFexp(-(r-b)2/c2))β1dr(6)

式中:r_h、r_m分别为结合面接触压强最小、最大半径; α₁和β₁为与结合面法向特性相关的常数。

同理,根据吉村允孝法,结合面切向刚度

Kx=Ky=∫rmrh2πrk2(p)dr

=∫rmrh2πrα2(aFexp(-(r-b)2/c2))β2dr(7)

为检验4种不同螺栓连接简化模型的有效性,开展对应的夹具模态试验。夹具通过M12螺栓与滑台连接,螺栓拧紧力矩均为72 N·m。其中,试验模型由27个点组成,每个点均采用三向传感器测试。为保证试验结果的完整性,根据结构特点,激励点取11号、17号及19号点,激励方向包括水平和垂直方向,脉冲激励由试验力锤敲击产生,分析范围为:0～2 048 Hz,频率分辨率为1 Hz,通过对试验数据处理分析,得到夹具的各阶模态频率如表2所示,振型如图5所示。

图5 夹具前4阶模态振型
Fig.5 The first four modal shapes of fixture

基于1.2节的螺栓结合面刚度等效模型,结合试验时M12螺栓的结构特性,参考王磊等^[13]给出的拟合参数取值范围,取a=1.26、b=9.6、c=13.2、r_h=6.4 mm、r_m=40 mm。螺栓扭矩T=72 N·m,参考张学良等^[15]给出的接触结合面特征系数,取α₁=20 644、β₁=1.7、α₂=561 280、β₂=0.31。将上述参数代入式(6)～式(7)中可得螺栓结合面法向和切向刚度分别为K_z=1.011 2×10¹⁰ N/m,K_x=K_y=4.7827×10⁹ N/m。从数值计算结果可知,4种螺栓连接简化模型的前4阶模态振型具有一致性,图6显示了Case 4模型中夹具前4阶模态振型图,各阶模态振型均与试验结果吻合较好。

表2 数值计算模态与试验模态结果对比
Tab.2 Comparison of modal calculation and modal test results

表2总结了4种简化模型与试验模型的前4阶固有频率数值,其中Case 2和Case 3模型中前2阶固有频率数值误差均大于10%,在Case 2模型中第2阶固有频率处达到峰值26.04%。与前两者模型相比,Case1模型中第1阶、第2阶固有频率数值误差有所降低,分别为6.03%、11.92%。在Case 4模型中,各阶固有频率数值误差均大幅度降低,前3阶固有频率数值误差均小于1%,第4阶处误差仅为2.32%。上述结果说明,将螺栓连接方式转化为弹簧单元的方法具有较高的动力学特征等效精度,因此在后续的数值计算中均采用该种边界等效方法。

图6 Case 4模型中夹具前4阶模态振型图
Fig.6 The first four modal shapes of fixture in the Case 4 model

针对Case 4模型,采用数值计算与试验验证相结合的方法开展不同螺栓预紧力状态下的夹具模态分析工作,其预紧力设置为10、15、20、25、30、35、40、45 kN共8种工况。不同预紧力下螺栓结合面的法向、切向刚度分别按照式(6)～式(7)计算。如图7所示,当预紧力小于20 kN时,结合面切向刚度大于法向刚度。随着预紧力的增大,法向刚度值递增速率显著增大,与切向刚度的差值呈快速递增现象^[16-17]。

从试验情况和数值计算结果可知,不同螺栓预紧力作用下,夹具的前4阶模态振型均与1.4节中Case 4模型振型相同。图8展示了2种研究方法中不同预紧力作用下夹具的模态频率变化情况,从图8中可知,数值计算结果与试验结果吻合度较高,近一步验证了上述螺栓结合面等效模型的有效性。

图7 不同预紧力作用下结合面刚度
Fig.7 Stiffness of bolted joint interface under different bolt pre-tightening forces

图8 不同预紧力作用下夹具前4阶固有频率
Fig.8 The first four modal frequencies of fixture under different bolt pre-tightening forces

当螺栓预紧力呈线性增加时,夹具前4阶固有频率数值均呈对数函数趋势增长,当预紧力大于30 kN时,其递增趋势逐渐趋于平缓。螺栓预紧力从10 kN增大至45 kN时,夹具前4阶固有频率数值增幅分别为8.74、17.22、1.11、2.2 Hz,说明预紧力对夹具前2阶固有频率数值有显著影响。当螺栓预紧力大于35 kN时,夹具第4阶固有频率数值趋于定值1 211.1 Hz,可以预判随着螺栓预紧力的再增大,夹具各阶固有频率数值均逐渐趋于定值,此时所对应的螺栓预紧力即为饱和预紧力,当螺栓预紧力大于此值时,其模态振型和固有频率不发生改变,但可能会由于过大的扭矩造成螺栓锁死,亦对滑台钢丝螺套造成损伤。因此,试验时螺栓的最大预紧力值推荐取饱和预紧力值。

试验过程中,振动能量从振动滑台传递到夹具上,简化的振动试验系统力学模型如图9所示^[18-20],将螺栓连接方式等效为一组三向弹簧单元。

图9 振动试验力学模型
Fig.9 Mechanical model of vibration test

在振动试验时,滑台受到水平(x)向推力F作用,不考虑结构在切向(y)和垂向(z)的运动,根据牛顿第二定律建立振动试验系统水平(x)向数学模型^[21]

式中:m₁为滑台质量; m₂为夹具质量; k_1x为滑台与端部牛头的连接螺栓水平向刚度; k_2x为夹具与滑台的连接螺栓水平向刚度。

设上式齐次方程(自由振动方程)有如下形式的简谐解

式中w为圆频率。

将式(9)代入公式(8)中的齐次方程中,可得力学模型存在意义的解为

求解可得

式中w₁和w₂分别为力学模型的1阶、2阶圆频率,其与外载荷F无关,仅取决于模型体系的质量分布和刚度分布,是体系固有性质。可根据f=w/2π求得模型体系的1阶、2阶固有频率。

根据滑台和夹具结构特性可知,m₁=153 kg,m₂=46 kg,当螺栓预紧力在10～45 kN之间变化时,可根据式(7)计算得到单个螺栓结合面切向刚度值K_x,夹具底面17个固定螺栓存在并联关系,则k_2x=17K_x。由滑台结构特征级正弦扫描试验可知其第1阶固有频率为850 Hz,则k_1x=m₁(2πf₁)²。将相关参数代入上述公式中,所得模型体系第1阶固有频率随预紧力变化情况如图 10所示。不同预紧力作用下,力学模型体系的固有频率变化趋势与2.1节数值计算结果相似,从理论方面验证了本文数值计算结果的可靠性。

图 10 力学模型体系第1阶固有频率
Fig.10 The first modal frequency of mechanical model system