本文主要研究对象是复材容器封头,但是筒段的长度、外径和壁厚直接影响封头的参数,因此采用图1所示的封头和筒段一体化的几何参数模型。封头的主要参数有子午线形状、缠绕角、封头壁厚和纤维应力。

图1 复材容器参数模型
Fig.1 Simplified parametric model of filament-wound composite pressure vessels

复材容器成型工艺是在芯模上按照一定的轨迹连续缠绕浸胶的复材纤维带,常用的纤维缠绕线型轨迹有螺旋缠绕和平面缠绕2种方式。

螺旋缠绕线型如图2所示,其中r₁为给定的筒段径向位置; α₁为筒段纤维缠绕角; r₂为给定的封头径向位置; α₂为封头纤维缠绕角。纤维轨迹严格满足稳定的测地线,即r₁sin α₁=r₂sin α₂,不存在滑纱的风险,同时封头各点纤维应力相等,但是要求前后极孔直径相等。

图2 螺旋缠绕线型
Fig.2 Helical filament winding

平面缠绕线型如图3所示,其中φ_{Front pole}为前极孔直径,φ_{Back pole}为后极孔直径,前后极孔直径可以不等,α为纤维缠绕角。平面缠绕线型轨迹是从一个极孔直接缠绕至另一个极孔,这种线型只能用于长度较小的壳体,要求壳体长径比L/D≤2。

图3 平面缠绕线型
Fig.3 Polar filament winding

以上2种线型,封头和筒段一体缠绕,纤维应力连续变化,承内压能力较好,但是封头子午线形状受限于缠绕线型无法自主设计,工程上为了设计和工艺方便,并提高体积装填率,经常采用椭球封头,即封头子午线方程满足椭圆弧曲线方程

r²/R²+z²/B²=1(1)

令椭球比

m=R/B

将不同缠绕线型和封头子午线形状组合,常用的封头形式可以分为螺旋缠绕封头、螺旋缠绕椭球封头、平面缠绕封头和平面缠绕椭球封头4类。

封头设计及分析时采用如下的网格理论,有如下假设条件:

1)复材容器的载荷全部由纤维的拉伸强度承担,树脂基体仅对纤维起黏结、定位的作用,使纤维强度充分发挥;

2)在整个复材容器上纤维连续缠绕,分布均匀且对称;

3)复材容器为薄壁结构件,应力沿壁厚均匀分布,无弯曲应力,内部压力处处相等,均匀一致;

4)复材容器前后封头和筒段螺旋向一体成型,然后筒段补充环向缠绕,即前后封头为“螺旋向”或“平面”缠绕线型,筒段为“螺旋向+环向”或“平面+环向”缠绕线型。

筒段长度L和外径R一般根据约束条件给定,筒段壁厚h_fc与封头形式无关,本文采用参考文献[20]中方法计算,为了方便下文引用,列出筒段壁厚

式中:p_b为容器最大内压; h_fα为纤维螺旋向或平面缠绕壁厚; h_fθ为环向壁厚; σ_fb为纤维的实际发挥强度。

一般封头的几何构型如图4所示,封头上采用螺旋缠绕或平面缠绕线型,纤维分布满足以下3个规则:

规则1:纤维排列关于子午线对称;

规则2:纤维与子午线的夹角即缠绕角α是关于平行圆半径r的函数,α=α(r),赤道圆上的缠绕角等于圆筒上的纵向缠绕角α₀,在极孔上,α=π/2;

规则3:根据物质守恒定律,通过平行圆法截面上的纤维总量等于通过赤道圆法截面上的纤维总量,且等于通过圆筒横截面上的纤维总量。因平行圆半径是变化的,因而封头厚度h_f也是r的函数,即h_f=h_f(r),在赤道圆处,封头壁厚等于筒段壁厚h_fα,即h_f=h_fα。

图4 一般封头几何构型
Fig.4 Geometry of general dome

极坐标条件下,一般回转体封头的曲面方程

S(θ,z)={rcos θ,rsin θ,z}(3)

式中:r=r(z)为封头的母线方程,r是平行圆半径坐标; z为回转体轴线坐标; r和z均大于0,θ为沿纬度圆的包角。

引入无量纲参数

根据规则1～规则3,可以推导出一般封头的无量纲化控制方程^[20]

从式(5)可以看出,有4个未知数:平行圆半径ρ、缠绕角α、纤维应力σ^-和封头厚度h^-,但是只有3个方程,因此需要根据特定封头类型补充一个额外的条件,确保方程可解。

从1.1节的介绍可知,螺旋缠绕封头满足等应力条件σ^-=σ^-₀和测地线Clairaut公式sin α=ρ₀/ρ,可以将式(5)改写为

利用龙格库塔法求解方程组可以得出螺旋缠绕封头各点子午线坐标、缠绕角和壁厚。如图5所示,在计算螺旋缠绕封头子午线方程时,r=(1.5)^1/2r₀(r₀为极孔半径)处子午线曲率出现拐点,且由+∞变化到-∞,即封头曲面由外凸变为内凹,无法保持连续。采用参考文献[20]中的方法,r=2^1/2r₀时封头曲面主曲率半径R_φ=R_θ,称为等曲率点,并且此处R_θ最大,(R_θ)_max=R/sin 2α₀,因此在等曲率点以后,用半径为(R_θ)_max=R/sin 2α₀的圆弧替代,确保拐点附近的子午线最大限度保持连续。

图5 螺旋缠绕封头子午线拐点及处理方法
Fig.5 Inflection point and modified meridian of helical winding dome

椭球封头的子午线方程是给定的椭圆弧,将式(4)代入式(1)得出无量纲化的子午线方程

ρ²+m²ε²=1(7)

对ρ求一阶和二阶导数,可得

将式(8)中ρ^·和ρ^¨代入式(5),得到螺旋缠绕椭球封头的控制方程式

值得注意的是该封头不再满足等应力条件。

从图3中可知,平面缠绕筒段纤维缠绕角α₀满足

根据图6中的平面缠绕封头的几何关系,得出

式中ρ_e为赤道处纤维轨迹起点坐标在子午线平面的投影。

图6 平面缠绕封头几何关系
Fig.6 Geometry of polar winding dome

联合式(5)、式(11)和式(12),得出平面缠绕封头的控制方程

与椭球封头相似,平面封头曲率在缠绕角α=54.7°时也会出现拐点,采用相同的处理方法,在等曲率点α=45°以后用圆弧替代原子午线。

将式(8)中椭圆弧二阶导数代入式(13),得出平面缠绕椭球封头的控制方程

为了验证本文计算模型的正确性,选取极孔半径ρ₀=0.1、0.2、0.3、0.4共4种工况,分别对比螺旋缠绕封头曲线与参考文献[21]中的等应力封头曲线,计算结果如图7所示,可见吻合性非常好。

以下针对4种不同类型复材容器封头的实例进行讨论,采用T700/树脂基体复合材料,纤维体积含量为60%,复合密度为1.56g/cm³,最大设计压强为10 MPa,筒段外径均为φ1 000 mm。4个实例三维模型如图8所示,其他几何参数如表1所示。

图7 封头设计模型验证
Fig.7 Verification of dome design model

图8 设计实例三维模型
Fig.8 3D solid geometric models of cases

表1 实例几何尺寸
Tab.1 Case dimensions

由表1可以看出,4个后封头尺寸相同,以下对比4个后封头的设计结果。封头的子午线、缠绕角和壁厚的设计结果对比如图9所示。

1)子午线设计结果:除螺旋缠绕封头高度较大外,其余3种封头子午线轮廓设计结果相近,螺旋缠绕封头高度(332 mm)比其余封头高度大了约8.9%。另外,平面缠绕封头和螺旋缠绕封头在等曲率点前后变化趋势连续无奇异点,证明2.2节处理方法的正确性。

2)缠绕角设计结果:相同缠绕线型的缠绕角度变化趋势相似,且变化连续,z=250 mm之前螺旋缠绕线型缠绕角(初始缠绕角约15°)大于平面缠绕线型(初始缠绕角约30°),之后变化趋势一致,由于螺旋缠绕封头高度较大,因此在极孔附近缠绕角变化较缓。

3)封头厚度设计结果:封头厚度的变化趋势同缠绕角,相同线型相似,且螺旋缠绕线型平均封头厚度大于平面缠绕线型。

图9 后封头设计结果对比
Fig.9 Comparison of dome design results

4种封头的纤维应力对比如图 10所示,可见:

1)在靠近筒段附近,平面缠绕线型的纤维应力大于螺旋缠绕线型; 在靠近极孔附近,纤维应力迅速增大。根据式(5),纤维应力与缠绕角α和子午线一阶导数的平方ρ^·2成正比,在极孔附近,缠绕角的迅速增大导致了纤维应力的增大。

2)另外,平面缠绕和螺旋缠绕封头的纤维应力在等曲率点以后发生了突变,这是由于在等曲率点后用球面拼接,子午线一阶导数的平方ρ^·2发生了突变。

图 10 后封头纤维应力设计结果对比
Fig.10 Comparison of fiber stress design results for rear dome

工程上为了解决极孔附近应力较大问题,通常在此处进行局部补强,另外在极孔处通过缠绕固定铝合金或钛合金接头的设计来弥补应力突变带来的结构强度不足。

为比较4种后封头的综合性能,引入参考文献[8]中的综合性能系数pV/W(p为容器内压; V为封头体积; W为封头质量)。详细对比如表2所示。

1)由于封头高度的原因,螺旋缠绕封头自由容积最大,其余三者相近。

2)由于螺旋缠绕封头平均厚度大于平面缠绕,相同缠绕线型的封头质量相近,螺旋缠绕线型封头的质量大于平面缠绕线型。

3)相同缠绕线型的综合性能系数pV/W相近,平面缠绕线型的封头的pV/W值优于螺旋缠绕线型。

表2 后封头性能参数对比
Tab.2 Comparison of performance parameters for rear dome

综上,相同缠绕线型的缠绕角、壁厚和性能参数接近,平面缠绕线型封头质量轻、pV/W值高,螺旋缠绕线型纤维受力较好。为了避免封头曲面曲率的不连续性,同时考虑设计和加工的便捷性,推荐采用螺旋缠绕椭球封头或平面缠绕椭球封头。