2.1 应力强度因子
小裂纹扩展分析的首要条件是高精度的应力强度因子求解。应力强度因子
(1)
式中:β为无量纲因子,与结构形式、载荷类型以及裂纹的几何形状有关; σ为远场应力,文中根据试验测量结果得到,详见下节; a为裂纹长度。
小裂纹沿深度和长度方向均处于明显的三维应力状态,需要进行三维应力强度因子求解。采用常规的有限元方法计算时,裂纹尖端的网格细化程度要求很高,单元尺寸从结构整体网格向裂纹尖端局部网格过渡时变化剧烈,为了保证计算精度,划分网格时需要剖切细化区域或者减小整体网格尺寸大小,网格划分难度较大。本文使用FRANC3D三维断裂力学分析软件(试用版)进行应力强度因子计算,该软件可以模拟任意类型的裂纹和载荷形式,采用了M积分[17]等高精度后处理计算方法,适用于小裂纹的应力强度因子计算。FRANC3D采用整体模型与局部模型结合的方法划分单元网格,能够有效控制整体网格大小,使裂尖局部网格尺寸满足计算精度要求。
根据本文试验结果,假设裂纹萌生于R区与管路外表面相切处,初始裂纹形式为半圆形表面裂纹,裂纹长度a和深度c均为0.01 mm。为简化计算,假设裂纹扩展长度和深度方向尺寸比值a/c=1保持不变。裂纹几何模型如图4所示,图4中φ为给定裂纹长度和深度时裂纹面上第i个计算点到管路外表面的角度,θ为裂纹面总的展开角度。裂纹穿透管路壁厚以后变为穿透型裂纹。图5给出了裂纹长度为1 mm时的有限元模型,在裂纹扩展区域有限元网格明显细化,裂纹面为半圆形,裂纹前缘划分了51个计算点,假定远场名义应力为100 MPa进行计算,得到了裂纹前缘各计算点的应力强度因子随裂纹长度a的变化结果,如图6所示。可以看出,靠近管壁表面的应力强度因子比管壁内部的应力强度因子要大,同时,随着裂纹长度的增加,裂纹越深,应力强度因子沿前缘各点的这种规律越明显。
图4 裂纹几何模型
Fig.4 Geometric model of crack
图5 有限元模型
Fig.5 Finite element model
图6 表面裂纹前缘的应力强度因子
Fig.6 Stress intensity factor at the front edge of surface crack
试验中各试件的裂纹扩展最终长度约30 mm,因此,给定裂纹扩展范围从0.01 mm到15 mm计算应力强度因子。图7给出了裂纹面最外层计算点(φ=0)的应力强度因子随裂纹长度a的变化曲线,该点的应力强度因子参与最终计算。试验应力强度因子的具体实现过程是将有限元计算的应力强度因子K和计算中施加的远场名义应力σ代入式(1),得到各裂纹长度下的无量纲因子β,该无量纲因子与试验测量的循环应力再次代入式(1)得到试验应力强度因子。
2.2 疲劳应力谱
试验应力强度因子计算的另一关键环节是疲劳应力谱,也就是应力循环的确定。选取试验的实测应变数据,对时域应变数据进行雨流计数(rain-flow cycle counting method)得到疲劳应变循环,将应变循环转换为应力循环后进行应力强度因子和裂纹扩展寿命计算。本试验的应变采样频率为4 096 Hz,对每个试验件,截取10 s的采样数据作为原始应变谱,共40 960个数据点,雨流后得到应变循环形成一个载荷谱块。假设考核部位的场应力为单向应力状态,忽略剪应力和弯曲应力的影响,则考核部位应力
σ=Eε
式中:E为材料弹性模量; ε为实测轴向应变,即得到疲劳应力谱块。
图7 应力强度因子随裂纹长度的变化曲线
Fig.7 Stress intensity factor with crack length
图8给出了疲劳应变循环均值εm=(εmax+εmin)/2及幅值εa=(εmax-εmin)/2的分布图,色谱代表出现次数。整体来看,各试件的疲劳应变循环集中在零均值附近,非对称循环的出现次数较少。图9和图 10分别给出了各级疲劳应变循环的峰值和幅值的发生频次,可看作应变峰值和幅值的概率密度,由图可见,对于本试验的窄带随机激励,应变循环的峰值呈现为倒钟形的正态分布,而应变循环的幅值则近似服从瑞利分布。疲劳损伤主要取决于疲劳循环载荷的幅值,结构在随机激励下的应力或应变响应的幅值概率分布必然与外激励、结构动特性等有关,因此,不能简单地假设某一种概率分布作为结构随机振动疲劳分析的通用模型。
试验中各试件疲劳试验时间(即疲劳裂纹扩展寿命)相对于10 s采样数据足够长,且认为10 s采样数据能够较充分地描述整个裂纹扩展寿命内的疲劳应力的随机特征,因此,本文将10 s采样数据经雨流后的疲劳应力循环作为一个平均谱块施加在整个裂纹扩展范围内进行计算,不再考虑谱块内各级应力循环的先后次序对裂纹扩展寿命影响。
图8 应变循环均值与幅值分布图
Fig.8 Mean value and amplitude distribution of strain cycle
图9 应变循环峰值发生频次
Fig.9 Occurrence number of strain cycle peak
图 10 应变循环幅值发生频次
Fig.10 Occurrence number of strain cycle amplitude
2.3 da/dN-ΔK裂纹扩展速率曲线
使用应力强度因子进行小裂纹扩展寿命计算时,必须选择合适的裂纹扩展速率曲线,并对裂纹扩展速率曲线进行参数修正以适用于小裂纹扩展计算。金属材料裂纹扩展速率曲线da/dN-ΔK的典型形式如图 11所示,通常将曲线划分为三个区域:近门槛区、稳态扩展区和失稳扩展区。在长裂纹扩展的近门槛值区,小裂纹的扩展速率会比长裂纹的相应速率高很多,因此,使用长裂纹da/dN-ΔK进行小裂纹裂纹扩展分析时,必须对近门槛值扩展曲线进行修正,以避免非保守的计算结果。本文采用NASGRO裂纹扩展速率公式进行计算,其表达式为[18]
(da)/(dN)=C[((1-f)/(1-R))ΔK]n((1-(ΔKth)/(ΔK))p)/((1-(Kmax)/(Kc))q)(2)
式中:C、n、p、q为材料常数; f为裂纹张开函数; R为应力比; ΔK=Kmax—Kmin为应力强度因子变程; ΔKth为应力强度因子门槛值; Kc为材料断裂韧度。f函数由Newman裂纹闭合理论给出,具体公式见文献[18]。
图 11 小裂纹及长裂纹扩展行为[19]
Fig.11 Growth behavior of small crack and long crack[19]
对疲劳小裂纹,在NASGRO裂纹扩展速率公式中通过修正应力强度因子门槛值ΔKth予以考虑。对不同的应力比,ΔKth的表达式为
ΔKth=ΔK*1[(1-R)/(1-f[R])](1+RC</sup>pth)/(1-A0)(1-R)C</sup>pth,R≥0(3)
ΔKth=ΔK*1[(1-R)/(1-f[R])](1+RCmth)/(1-A0)(Cpth-RCmth),R<0(4)
其中
K*1=ΔK1[a/(a+a0)]1/2
式中:ΔK1为应力比R为1.0时的长裂纹应力强度因子门槛值; a为裂纹长度; a0为小裂纹参数(典型值为0.038 1 mm); A0为裂纹张开参数; Cmth和Cpth为裂纹扩展速率参数。
根据文献[20]数据,并通过参数修正,本文使用的材料裂纹扩展参数如表2所示。
表2 裂纹扩展速率参数
Tab.2 Parameters of NASGRO crack growth rate
2.4 裂纹扩展计算程序
从da/dN-ΔK的表达式可见,裂纹扩展寿命计算是一个积分过程。实际计算中,将裂纹扩展增量设置为一个步长小量Δa,在每个步长内计算裂纹扩展寿命ΔN,对从初始裂纹到临界裂纹的整个扩展长度内的ΔN进行累加就得到总的裂纹扩展寿命,通常按循环接循环的方法进行计算。本文使用一种快速裂纹扩展计算方法,具体流程如图 12所示,在Excel中输入计算公式即可实现。
图 12 裂纹扩展计算流程
Fig.12 Calculation process of crack growth
首先,将给定的裂纹扩展长度范围a0到an分成n个区间,对每一个裂纹长度ai,依次计算应力谱块(共有m个循环应力)中第j个循环应力对应的裂纹扩展速率da/dNj,i,得到m×n个裂纹扩展速率值; 然后,将每一个裂纹长度下m个裂纹扩展速率相加,得到裂纹长度ai对整个应力谱块的裂纹扩展速率da/dNi,并计算每一个裂纹扩展增量区间[ai-1,ai]对整个应力谱块的平均循环次数Ni; 最后,将a0到an的n个裂纹扩展区间的平均循环次数相加,得到总的循环次数N,即为最终总的裂纹扩展寿命。
本文计算中,一个应力谱块代表10 s时间,应力谱块共循环了N次,则裂纹扩展寿命按时间表示为10N s。
对本次试验6个有效断裂试验件按上述方法进行计算,裂纹扩展寿命结果见表3,可以看出,试验件的应变响应(以RMS为表征)越大,裂纹扩展寿命越短,这与经典的Miner疲劳损伤累积理论是一致的,即结构承受的疲劳应力水平越高,其疲劳损伤越严重,因而寿命越短。不同的是,在疲劳计算的Miner方程中,寿命N直接根据损伤计算得到,而在裂纹扩展计算中,寿命N由裂纹循环扩展并累加得到。
表3 裂纹扩展寿命计算结果
Tab.3 Calculation results of crack growth
图 13给出了裂纹扩展长度随裂纹扩展寿命(时间)的变化曲线,显然,裂纹扩展寿命的绝大部分时间为小于1 mm的小裂纹扩展阶段,长裂纹阶段的稳定扩展寿命很短,因此,对该类管路结构进行疲劳和损伤容限设计时,重点考虑使用疲劳极限强度较高、裂纹扩展速率较低的材料,使结构在小裂纹阶段有足够长的缓慢扩展寿命,从而保证结构在随机振动环境下的疲劳强度更好地满足设计使用要求。
图 13 裂纹扩展长度随时间的变化
Fig.13 Crack growth length with time