对于承受内压和轴向位移载荷的波纹管,其自身结构、载荷以及变形都呈现轴对称特征,因而可采用二维轴对称模型进行分析。波纹管材料为1Cr18Ni9Ti,弹性模量E=2.06×10⁵ MPa,泊松比v=0.3,屈服强度σ_s=205 MPa。

根据材料的性质,采用Mises流动理论描述材料进入塑性阶段的本构关系,在Drucker公设和Ilyushin假设前提下,塑性变形满足正交法则,屈服条件为

f(σ,Y)=J₂(σ)-(Y²)/3=0(2)

式中:σ为应力张量; J₂(σ)是应力张量σ第二不变量; Y是强化参数。引入Mises等效应力表征应力状态,即

σ_eq=[3J₂(σ)]^1/2=Y(3)

式中σ_eq为von Mises等效应力。

波纹管变形补偿原理与弹簧类似,但对于多层波纹管而言,由于层间接触作用,其应力和刚度响应都呈现非线性,属于非线性有限元分析范畴。有限元模型选用轴对称SHELL209单元,该单元为3节点非线性壳单元,适合线性、大转动和大应变非线性分析。

网格密度对计算结果的影响很大,网格数较少时,可能导致分析结果连续性差,结果失真; 网格数目太多,计算成本太高。为此,分析了内压载荷下,网格尺寸在1～3.5 mm之间均匀分布时S形波纹管位移随网格尺寸的变化关系。如图4所示,其中最大应力和变形变化范围小于1,网格尺寸满足网格收敛性要求。

图4 最大变形随网格尺寸变化
Fig.4 Variation of maximum deformations to mesh sizes

为了验证模型轴对称等效、单元以及网格处理的可行性和有效性,参考文献[2-3]中内径为508 mm的多层波纹管轴向刚度试验结果及EJMA标准的计算结果进行验证。验证内容为4层U形波纹管的刚度分析,仿真中需要考虑多层波纹管的材料、几何和接触非线性特征,仿真得到的刚度值为最小二乘拟合结果。

从表2可知,3种方法得到的刚度值较为接近,有限元解与试验值的最大偏差为6.63,有限元解与EJMA解的最大偏差为2.42,满足EJMA标准建议的精度要求,证实了模型和分析方法可行。

表2 轴向刚度分布
Tab.2 The distribution of axial stiffness

相关性是指多变量数据之间存在着某种内在关联,主要有正相关[见图5(a)]和负相关[见图5(b)]两类。

图5 相关性分布示意图
Fig.5 Schematic diagrams of correlativity distribution

一般采用积距相关系数来衡量变量之间相关性强度,即

r=(∑(x-x^-)(y-y^-))/((∑(x-x^-)²∑(y-y^-)²)^1/2)(4)

式中:x、 y各为一组数据; x^-、y^-为各组数据均值。系数值在-1至1之间,越接近±1,相关性越强; 越接近0,相关性越弱,0表示不相关。

选择表1中影响因子均匀分布的8种水平,形成正交试验方案。表3表明影响因子的互相关系数为0,反映出影响因子之间相互独立。

表3 影响因子相关系数
Tab.3 The correlation coefficients of factors

主成分分析是在尽量保留数据信息的原则下,对高维变量空间进行降维处理,即使用指标体系的少数几个线性组合构成综合指标,并尽可能多地保留原指标信息,这些综合指标就称为主成分。

设有p个指标X=(X₁, X₂,…, X_p)^T,若用第一主成分来取代原p维变量,应该取保留数据信息量最多的一个方向,即方差最大的方向F₁(见图6)。

图6 主成分分布示意图
Fig.6 Schematic diagrams of principal component analysis

F₁=u₁₁X₁+u₂₁X₂,…,+u_p1X_p=u^T₁X(5)

式中u₁为p维正交向量。

若需要考虑第二主成分,即寻找与F₁垂直的方向F₂,依次类推,便可以得到一个k维的主超平面F₁,F₂,…, F_k(k≤p),它是原p维空间所有线性变换空间中保留数据信息最大的k维子空间,即

F₁=u₁₁X₁+u₂₁X₂,…,+u_p1X_p=u^T₁X

F₂=u₁₂X₁+u₂₂X₂,…,+u_p2X_p=u^T₂X



F_p=u_1pX₁+u_2pX₂,…,+u_ppX_p=u^T_pX(6)

式中U=(u₁,u ₂,…, u _p)为正交矩阵。

设X的协方差矩阵为V,满足

(7)

式中λ₁,λ₂,…,λ_p为V的特征根。

在实际应用中,X中各个分量的意义不同,量纲也不同,从而影响协方差阵的特征根与特征向量计算,为了消除这种不利影响,通常将变量标准化,即

x^*_i=(X_i-EX_i)/((DX_i)^1/2)(8)

式中E和 D分别为X的均值和方差。标准化变量x^*_i=[x^*₁,x^*₂,…,x^*_p]也就是X的相关阵R,由R出发得到的主成分称为标准化主成分。主成分选取个数以能反映原来变量80以上信息为依据,即累积贡献率≥80为标准选取主成分。

方差分析可以判断影响因子是否对响应有显著影响,从而得到各影响因子敏感度的量化指标。方差分析中,所关心的试验结果称为指标,对指标产生影响的因素称为因子,因子所处的状态称为水平。

设某个试验指标X分别受A和B两个因子影响,其中A因子有a个水平A₁,A₂,…,A_a,B因子有b个水平B₁,B₂,…,B_b,这样共有a·b个不同水平的组合。引入下列符号

(9)

式中:X^-为理论总均值; α_i为水平A_i对试验结果的效应; β_j为水平B_j对试验结果的效应。分析A的不同水平对试验指标是否有显著影响,相当于检验如下假设

H_0A:α₁=α₂=…=α_a=0(10)

同样,分析B的不同水平对试验指标是否有显著影响,相当于检验如下假设

H_0B:β₁=β₂=…=β_b=0(11)

从而建立方差分析模型

(12)

引入下述各变差平方和

(13)

式中:S_T为变差平方和; S_A和S_B分别反映因子A和B对试验指标的影响; S_A×B主要反映随机误差的波动。通过比较S_A和S_B的大小,得到A和B的影响程度高低。

S形波纹管两端固支,在内壁面均匀施加0.5 MPa内压,考虑von Mises应力极值S_von、周向应力极值S_latp、子午向应力极值S_merp以及总位移极值U共4类响应指标,其中某一种参数组合波形应力云图如图7所示。

图7 一种参数组合波形应力云图
Fig.7 The von Mises stress of one combined bellows

5.1.1 相关性分析

从表4中可以发现,各响应之间的秩相关系数绝对值大于0.94,表明各响应指标之间相关程度很高,可以用少量的响应指标表征所有响应指标的效应。该结论符合有限元计算的基本原理,即应力指标通过变形演化而来,求解得到了位移场,也就知道了应力场。

表4 内压载荷响应相关系数
Tab.4 The correlation coefficients of pressure responses

5.1.2 主成分分析

将各响应数据标准化,并进行主成分分析,得到各特征值如表5所示。

表5 内压响应标准化协方差矩阵特征值
Tab.5 The eigenvalues of normalized covariance matrix of pressure responses

从表5可知,特征值λ₁的贡献率为98.3,故可以用第1主成分表征整体响应的综合效应。

5.1.3 方差分析

对于显著水平α=0.05,比较表6中F列数据与临界值F_0.95(7,21)=2.49可得:在多层波纹管总厚度一定时,对于内压载荷响应,S形波纹管影响因子的影响程度从高到低为层数c>波高ω>单层厚度t>波数n>半径r>波距q,其中,层数影响最显著,半径r和波距q的影响可以忽略。

表6 载荷方差分析
Tab.6 Load analysis of vaniance

5.1.4 单因子响应分析

选定表1中各影响因子取值范围的中间值作为基准波形,单独研究各影响因子在其取值范围内在内压载荷下von Mises应力极值的影响规律。为了便于比较,将各影响因子和von Mises应力分别无量纲化处理,获得图8所示的单因子影响关系。

图8 无量纲影响因子对无量纲von Mises应力的影响
Fig.8 The distributions of normalized von Mises stress to different normalized parameters

对于内压载荷,管壁厚度是最重要的承压性能指标,故增加层数c和单层厚度t,能有效增大承压能力,降低应力水平。波高ω越大,波峰波谷过渡圆弧长度越大,内压沿过渡圆弧长度产生的压力变形和应力就越大。波数n、半径r以及波距q增大,应力略有下降,从图8中可以发现,这三者的影响程度远不如其他参数重要。

5.2 轴向位移响应敏感度分析

S形波纹管一端固支,另一端施加10 mm轴向位移,考虑von Mises应力极值S_von、周向应力极值S_latp、子午向应力极值S_merp和轴向刚度K共4类响应指标,并分别处理应力指标与轴向刚度指标数据,其中某一种参数组合波形von Mises应力云图如图9所示。

图9 一种组合波形von Mises应力云图
Fig.9 The von Mises stress of one combined bellows

5.2.1 相关性分析

表7反映出在轴向位移载荷作用下,各应力响应之间的相关程度大于0.87,因此,可以用较少的响应指标反映所有响应的影响规律。

表7 应力响应相关系数
Tab.7 The correlation coefficients of stress

5.2.2 主成分分析

将应力响应指标标准化,并进行主成分分析,得到各特征值如表8所示。

表8 应力响应标准化协方差矩阵特征值
Tab.8 The eigenvalues of normalized covariance stress

特征值λ₁的贡献率为98.03,故可以用第1主成分表征整体响应的综合效应。

5.2.3 位移应力响应方差分析

对于显著水平α=0.05,比较表9中F列数据与F_0.95(7,21)=2.49可得:对于轴向位移应力响应,S形波纹管影响因子的影响程度关系由高到低依次为波数n>层数c>半径r>波高ω>单层厚度t>波距q,其中波数n和层数c影响最大,波距q的影响可以忽略。

表9 应力方差分析
Tab.9 Stress analysis of vaniance

同理,比较表 10中F列数据与F_0.95 (7,21)=2.49的关系可得:对于轴向位移刚度响应,S形波纹管6个影响因子的影响程度关系从高到低依次为层数c>波数n>半径r>单层厚度t>波距q>波高ω,其中波数n与层数c影响最大,单层厚度t、波距q和波高ω的影响可以忽略。

表 10 轴向刚度方差分析
Tab.10 Axial stiffness analysis of vaniance

5.2.4 单因子响应分析

选定表1中各影响因子取值范围的中间值作为基准波形,单独研究各影响因子在其取值范围内对位移载荷下von Mises应力极值和刚度的影响规律。为了便于比较,将各影响因子和载荷响应分别无量纲化,获得图 10和图 11所示的单因子影响关系。

图 10 无量纲影响因子对无量纲von Mises应力的影响
Fig.10 The distribution of normalized von Mises stress to normalized parameters

图 11 无量纲影响因子对无量纲轴向刚度的影响
Fig.11 The distribution of normalized axial stiffness to normalized parameters

从图 10和图 11中可知,波数n增加,波纹管长度增大,在同等位移作用下,单个波纹的变形减小,故应力水平和刚度降低,应力极值、刚度与波数呈现双曲函数关系。单层厚度t和层数c增加使得总壁厚增大,波形最小曲率减小,波纹管轴向截面积增大,应力极值与刚度都增大。波高ω增加,过渡圆弧长度增大,刚度减小,应力也减小。波距q增大时,应力极值先减小后增大,存在应力极小值点,半径r对应力极值和刚度的影响最小。