液体火箭发动机涡轮燃气为多元混合气体,工程上常采用两参数的通用型立方型状态方程计算多元混合物的热物性。相对于查阅热力学性质图表和专用状态方程,通用型立方型状态方程所需的物性系数少,形式简单,一般情况下计算精度满足工程需求^[2]。不同的立方型状态方程针对不同的物质具有不同的计算精度,在多种立方型状态方程中,选择计算精度更高的方程,具有重要的实际意义。

本文选用SRK^[6]、PR^[7]和RK-PR这3种立方型状态方程进行计算。3种立方型状态方程对计算纯烃和烃类混合物体系的气液相平衡具有较高精度。通过归纳总结,上述的立方型状态方程具有如下通用形式。

p=(RT)/(v-b)-(aα(T))/((v+σ₁b)(v+σ₂b))(1)

式中:v为摩尔体积; R为通用气体常数。根据各个状态方程的不同,式(1)中的各参数及表达式如下。

SRK方程为

PR方程为

RK-PR方程为

式中:T_c、p_c分别为气体的临界温度和临界压力; T_r为相对温度,表征实际温度与临界温度的比值。在RK-PR状态方程中,用于计算的σ₁和k的模型常数见表1。

表1 RK-PR中的σ1和k的模型常数
Tab.1 Model constants of σ1 and k in RK-PR

计算高压下流体的焓对计算高压燃气涡轮的绝热功有重要意义。在理想气体热力学性质的基础上,通过偏离函数引入高压修正,对高压下的流体焓和定压比热等常用热力学性质进行计算,从而获得高压环境下的真实流体热力学性质^[8-10]。其中,偏离函数可表示为

F^d=F⁰(T,p)-F(T,p)(5)

式中上标0表示低压理想气体状态下的各变量值。根据定义,高压流体的焓和熵的表达式分别为

将式(1)代入式(6)和式(7)可得

在此基础上,可以得到定压比热

式中c_p,0为理想气体定压比热,采用7系定压比热公式计算^[11],其适用温度的范围为200～6 000 K。为验证立方型状态方程对高压环境下真实气体的焓描述的准确性,以NIST^[12]数据库为基准,分别对3种状态方程的计算结果进行校核。图1分别给出了温度为500 K时,氧气、甲烷和氢气的焓随压力的变化曲线。

图1 氧气、甲烷和氢气的焓随压力的变化曲线(T=500 K)
Fig.1 Variation curves of enthalpy of oxygen, methane and hydrogen with pressure(T=500 K)

由图1可得,在30 MPa以上时,氧气、甲烷和氢气的比焓与理想气体的比焓差距较大。在考虑的压力范围内,对于氧气和甲烷,SRK方程描述的曲线与真实气体吻合较好,最大偏差不超过2; 对于氢气,SRK方程和RK-PR方程描述的曲线与真实气体吻合较好,与真实气体曲线的最大偏差不超过1。因此,基于SRK方程对氧气、甲烷和氢气的热力学性质的计算精度相对较高,满足工程运用需求。

高压涡轮燃气为多元气体混合物,单一气体假设在高压涡轮绝热功的计算上,尤其是富燃燃气涡轮绝热功的计算上具有一定的误差。因此,对于高压涡轮燃气混合物的计算,要考虑把计算纯物质热物理性质的状态方程推广到混合物体系,需要选用合适的混合规则。目前,研究人员通过大量的试验研究,提出了多种混合规则经验公式^[13-16]。具体到立方型状态方程,通常采用单流体理论方法,将多种物质混合的混合物体系看作一种假想的具有虚假临界参数且性质均一的纯物质,混合物的热力学性质与纯物质具有一定的区别。对于所有两常数立方型状态方程RK、SRK、PR方程,均采用如下混合规则^[17-18]。

式中:V_ci和V_cj为介质的临界体积; k_ij为混合介质相互作用系数。

单位质量燃气涡轮气体绝热功的计算公式为

L_r=∫²₁vdp=h_t1-h_t2(12)

应用理想气体焓的计算公式可得

L_i=c_piT₀₁(ε^(γ-1)/γ-1)(13)

其中

c_pi=γR/γ-1

ε=p₀₂/p₀₁

考虑真实气体效应,以p、T为变量,熵的微分形式可以写为^[19-21]

引入压缩因子,真实气体状态方程可表示为

pv=ZRT(15)

由式(14)和式(15)可得

等熵过程温度的变化可以简化为

T₀₂-T₀₁=T₀₁(ε^(γ-1)/γ-1)(17)

而焓的微分形式可以写为

dh=Tds+vdp(18)

真实气体理论绝热功为

L_r=h_t1-h_t2(19)

假定压缩因子保持常数不变,将式(15)代入式(19)可得

h_t1-h_t2=∫^{p _<sub>02}_p01(ZRT)/pdp(20)</sub>

假设温度、压力变化遵循理想气体关系,近似绝热功公式可化为

L_a=Zc_piT₀₁(ε^(γ-1)/γ-1)=ZL_i(21)

通过SRK方程计算高压燃气涡轮的真实气体绝热功和近似绝热功,具体步骤如下:

1)已知入口的总压、总温,将SRK方程代入式(9)求出入口的熵;

2)利用压比计算出口的总压,将涡轮做功过程看做等熵过程,利用式(9)迭代计算出口总温;

3)对于混合气体工质,利用式(8)求出涡轮出入口混合燃气的焓值,利用式(19)求出真实气体理论绝热功;

4)结合混合规则,通过式(15)求出涡轮进出口燃气的压缩因子,利用式(21)计算出高压燃气涡轮近似绝热功。

为了验证SRK方程对氧气、甲烷和氢气的热力学性质计算的准确性,考虑到高压燃气涡轮的实际工况,选取压力为30 MPa,温度为200～900 K的氧气、甲烷和氢气进行了计算。比焓随温度的变化如图2所示,由图可得,运用SRK方程计算的3种气体比焓的变化曲线均与NIST数据曲线基本重合。

图2 氧气、甲烷和氢气的焓随温度的变化(p=30 MPa)
Fig.2 Variation curves of enthalpy of oxygen, methane and hydrogen with temperature(p=30 MPa)

在新一代氢氧大范围变推力发动机和液氧/甲烷可重复使用发动机中,涡轮内燃气的温度均处于较高的温度区间。因此,选取涡轮燃气典型温度500 K,压力为30～60 MPa的3种气体工质进行了热力学参数计算。计算结果如表2所示,SRK方程对3种气体工质在高压下比焓的计算具有较高的准确性,对于氧气,比焓的最大相对误差为0.36; 对于甲烷,比焓的最大相对误差为0.24; 对于氢气,比焓的最大相对误差为0.11。在工程计算中具有较高的准确性。因此, SRK方程能够满足高压补燃循环大范围变推液体火箭发动机涡轮绝热功的计算需要。

压缩因子随温度的变化如表3所示,随着温度的升高,3种气体的压缩因子的变化趋势与NIST数据基本一致,且随着温度的升高,相对误差越来越小。其中,氧气压缩因子的最大偏差不超过1.5,甲烷压缩因子最大偏差不超过2,氢气压缩因子的最大偏差不超过0.7。其计算精度可靠,满足工程运用需求。

表2 氧气、甲烷和氢气的焓随压力的变化(T=500 K)
Tab.2 Variation of enthalpy of oxygen, methane and hydrogen with pressure(T=500 K)

表3 氧气、甲烷和氢气的压缩因子随温度的变化(p=30 MPa)
Tab.3 Variation of compression factor of oxygen, methane and hydrogen with pressure(p=30 MPa)

以大范围变工况氢氧发动机SSME发动机燃气涡轮和液氧甲烷模型发动机的高压燃气涡轮为研究对象,验证近似公式的准确性。其中,SSME发动机的2个富燃燃气涡轮入口压力分别为33.2 MPa和33 MPa,入口温度分别为738.7 K和994 K,涡轮的膨胀比为1.53和1.5; 液氧甲烷模型发动机的富燃燃气涡轮入口压力为51.2 MPa,入口温度为911 K,压比为1.6。

分别采用2.3节的理论和近似2种方法进行计算,参照高压燃气涡轮的额定工作参数,近似计算中的压缩因子选择3种方案计算,分别为入口压缩因子Z₁、出口压缩因子Z₂和进出口平均压缩因子Z_m。

近似绝热功和理论绝热功对比见表4。对于上述3种高压燃气涡轮,利用理想气体假设计算的绝热功均与真实气体效应下绝热功偏差较大,而近似公式与理论公式的计算结果较为吻合。即使真实气体效应较为突出的高压液氧甲烷燃气涡轮,选择合适的压缩因子,近似公式的计算结果偏差不超过1。

表4 近似绝热功和理论绝热功对比
Tab.4 Comparison between approximate adiabatic work and theoretical adiabatic work

另一方面,对于不同工质的高压燃气涡轮,不同压缩因子方案近似公式的计算结果精确性略有不同。对于氢氧发动机,采用入口压缩因子所计算的绝热功与理论绝热功偏差最小; 对于液氧甲烷发动机,采用出口压缩因子所计算的绝热功与理论绝热功偏差最小。而对于不同工质的高压燃气涡轮,采用进出口平均压缩因子计算的近似绝热功均具有较高的准确性,与理论绝热功的偏差不超过3。 综合考虑2种不同工质的发动机,采用进出口平均压缩因子能够较为准确地计算出高压燃气涡轮的近似绝热功,且计算简便,可以作为工程上涡轮绝热功的近似算法。

为了验证采用进出口平均压缩因子近似计算高压涡轮绝热功的准确性,以液氧甲烷模型发动机为例,保持涡轮入口温度不变,分别计算了入口压力在25～55 MPa范围内变化时该模型发动机的富燃燃气涡轮的绝热功和混合燃气的出入口压缩因子的变化,计算结果如图3所示。

图3 涡轮绝热功和压缩因子随入口压力的变化
Fig.3 Variation of turbine adiabatic work and compression factor with inlet pressure

由图3可知,随着压力的升高,真实气体效应突出,高压燃气涡轮的绝热功呈增长趋势,采用进出口平均压缩因子的近似计算公式与理论方法的计算结果趋势相同且偏差较低,不高于3。理想气体假设下的涡轮绝热功只与温度有关,其大小不随压力的变化而变化。随着压力的升高,高压燃气涡轮的进出口压缩因子始终大于1,且随着入口压力的升高,进出口压缩因子均逐渐增大,与理想气体假设的偏差逐渐增大,使真实气体理论绝热功与理想气体假设下的绝热功偏差较大。