发动机传力机架作为发动机与火箭箭体连接的关键结构,其直接承受发动机产生的全部推力,对发动机的运载能力和火箭的稳定性有很大影响。为保证传力机架的稳定性,实现轻量化设计,传力机架结构有以下几个设计要求。

1)刚度要求。运载火箭发射过程中,传力机架将承受极大的载荷,因此设计要求传力机架有较高的抵抗变形能力。若其结构刚度不足,将导致在火箭发射瞬间发动机推力方向偏移量过大,同时可能出现传力机架直接与箭体内部设备相接触的现象,对火箭的安全性及可靠性产生极大的危害,造成严重的安全隐患。因此在优化设计中,结构刚度是重要的保证对象,传力机架的刚度对火箭安全起着重要的作用。

2)质量要求。质量是优化的主要对象之一,传力机架的质量直接影响运载火箭的发射成本与推重比。对传力机架的轻量化设计能有效提高火箭的运载能力,同时也可避免因传力机架质量过大导致的成本过高及发动机无法提供足够动力的问题。在拓扑优化中通常使用实体材料在总设计空间中的占比作为考量质量的参数,此比值越小则质量越轻,火箭运载能力越高。

3)设计空间要求。设计空间要求体现在拓扑优化中设计区域的设定上。作为运载火箭结构的一部分,传力机架的工作环境周围将排布有诸多输送管道及其他相关构件,对于火箭内部存在的可能发生干涉位置,在优化过程中需要设置为不可设计区域。

4)制造约束要求。优化设计阶段需要考虑在实际生产过程中制造工艺上的约束,增材制造方法制造约束一般有最大/最小尺寸约束、封闭空腔约束、悬垂约束。增材制造是层层叠加的制造过程,因此如果加工机构中存在大悬挑结构,其下层是粉末等材料,增材制造过程中将无法形成有效的传力路径,结构可能产生塌陷或翘曲而无法正常制备,因此需要考虑增材制造特有的悬垂约束^[21],同时这也是此次优化过程中主要考虑的制造约束。

在满足上述发动机传力机架的设计要求基础上,进行结构的轻量化设计。

移动可变形组件法采用由具有显式几何参数的、能够在设计空间中自由移动并变形的组件作为描述结构拓扑的基本元素,用组件来描述结构拓扑信息,将决定组件几何特性的参数作为优化问题中的设计变量,通过组件位置的移动和尺寸的缩放实现结构拓扑变化,如图1所示。

图1 MMC方法示例
Fig.1 Example of MMC method

在MMC框架下,可移动可变形的组件为基本的结构设计单元,在本文中采用以下基于欧拉描述^[22-23]的拓扑描述函数来表示一个类立方体的三维组件,即

其中

式中:p为控制组件形状的参数,本文取p=6^[25]; L₁、L₂、L₃分别为组件的半长、半宽、半高;(x₀,y₀,z₀)为组件在全局坐标系下的中心坐标,具体如图2(a)所示; θ、β、α均为组件局部坐标系O'x'y'z'与全局坐标系Oxyz的夹角,三维组件的局部坐标和全局坐标转角的转换关系如图2(b)～图2(d)所示。

对每个结构组件,其拓扑描述函数为

式中:D为三维空间中优化问题规定的设计域; i=1,2,…,n_c,n_c为组件的总数; Ω_i为第i个组件所占的区域。将每个结构组件代表的拓扑集合取并集可以得到整体的拓扑描述函数,即

式中:χ^s(x)=max[χ¹(x),χ²(x),…,χ^n_c(x)]; Ω^s为至少由一个组件所占据的D的子集。

图2 三维组件的参数表示及三维组件的局部坐标和全局坐标的转换关系
Fig.2 The parametric representation of the three-dimensional component and the transformation relationship between global coordinates and local coordinates of three-dimension components

在此问题中,为满足机架结构的设计要求,将优化问题的目标函数选取为结构柔度,并对实体结构体积与优化问题设计域体积的比值取上界作为约束条件以限制结构的质量。单工况作用下的MMC优化方法的传力机架优化列式为

式中:Dⁱ=(x_0i,y_0i,z_0i,L_1i,L_2i,L_3i,s_ai,s_bi,s_ti)^T为第i个组件的拓扑描述参数; K为结构的刚度矩阵; u为结构位移场; f为结构所受到的外力; u^-为狄里克雷边界Γ_u给定的位移; V^-为对结构体积分数约束的上限; U_D为设计变量取值范围。

对于运载火箭实际情况,需要考虑多工况下的优化问题列式,改写为

式中:N为工况总数; C_j、u_j、f_j分别为第j个工况作用下的柔度、位移响应、外载荷; w_j为第j个工况时对应的权重因子,w_j=1。

对于增材制造制备方式,还需要考虑其特有的制造约束。拓扑优化过程中,可能出现如图3(a)所示存在悬挑结构的结果,若使用增材制造制备将出现塌陷等问题,导致成形失败。在MMC框架下,几何信息显式表达,可以很容易地得到并控制组件的长度、角度等参数,并通过限制组件的转角来避免优化结果出现大悬挑结构,以满足增材制造的悬挑约束。在确定增材制造的加工方向后,使组件与加工面始终保持一定角度,以保证增材制造的过程中已成形的结构能提供足够的支撑力。此方法在目标构型较为简单的问题中十分有效。同一算例中,限制组件转角设计变量取值范围后得到的拓扑优化结果如图3(b)所示,有效地避免了悬挑结构的出现。

图3 考虑悬垂约束的优化结果对比
Fig.3 Comparison of optimization results considering suspension constraints

在本文中对于三维机架结构取z方向为加工方向,限制设计变量可行域U_D中的转角α、β,即

式中:α_i、β_i为第i个组件对应的与增材制造方向相垂直的转角; α₀、β₀为使优化过程中满足增材制造悬垂约束的足够大角度。

在优化过程中,结构响应由商业软件的有限元方法计算,不需要重新划分有限元网格。采用替代材料法来实现^[24-25],第e个有限元单元刚度矩阵表示为

式中:Ω_e为第e个有限元所占的区域; B为应变矩阵; D^*_e=ρ_eD₀,D₀为固体材料的弹性矩阵,ρ_e为第e个单元实体材料的密度^[26],计算式为

式中:N_D、 χ^e_k分别为单元的节点个数和第e个单元的第k个节点的拓扑描述函数; H_δ为Heaviside函数。Heaviside函数取其正则化形式,即

式中:ε和δ为两小值正数,用于控制Heaviside函数在(0,1]区间取值的过渡区宽度和避免结构刚度矩阵奇异。结构整体的刚度矩阵为

为求解优化问题,还需要计算出求解器要求的灵敏度信息。单一工况下,根据文献[27-28],可以将优化的目标函数C对设计变量d(即组件的几何参数)的偏导数表示为

式中:u_e为单元位移向量; K_e为单元刚度矩阵。同理,对于多工况问题,目标函数的加权形式C_A写为

将体积分数作为约束函数,体积分数的灵敏度为

使用MMC方法的优化设计流程主要分为3阶段,如图4所示,分别为预处理阶段、优化预设阶段及拓扑优化阶段。

1)预处理阶段。拓扑优化是基于有限元方法的优化技术,在优化设计开始前需要对优化设计域模型进行有限元网格剖分,在有限元文件中添加载荷边界条件,定义材料属性及划分设计域与不可设计域,最后导出模型有限元文件。

2)优化预设阶段。确定了模型的有限元文件后,需要对优化问题的优化目标和约束函数进行设定,在MMC框架下的拓扑优化设计还需要设置组件的初始布置,同时对增材制造约束进行考量,限制组件转角的取值范围。

3)拓扑优化阶段。采用移动渐近线方法^[29]对优化问题进行求解,有限元分析采用商业软件进行,将得到的求解优化问题所需要的目标函数值、灵敏度等信息传入求解器进行迭代,满足优化设置的判敛条件后结束优化。

图4 传力机架优化设计流程
Fig.4 Optimization design process of transmission frame structure

综合考虑传力机架的设计要求及传力机架周围管道等组件排布,可以得到运载火箭发动机传力机架的设计空间,其模型信息如图5所示。图中红色部分为模型不可设计区域,绿色部分为设计区域。对模型进行有限元划分,划分的有限元模型共295 121个节点和272 254个六面体单元。

传力机架在工作过程中往往承受两种载荷工况,即零位状态和摇摆状态。在零位状态下,机架结构主要承受轴向推力; 在摇摆状态下,机架结构不仅承受轴向的推力,还承受横向力与弯矩。载荷的加载方式如图6所示,通过RBE3单元将加载区域连接到加载区域中心的一点处,在该点施加载荷。

图5 设计空间几何模型(单位:mm)
Fig.5 Geometric model of design space(unit:mm)

图6 载荷工况
Fig.6 Load cases

传力机架结构使用高强度钢材料制造,材料性能如表1所示。

表1 传力机架材料属性
Tab.1 Material property of the transmission frame structure

传力机架下端与传力座相连,发动机总推力载荷通过传力座传递至机架,进而通过锥端传递至火箭箭体。根据运载火箭的工作状态及拓扑优化分析载荷工况选择原则,模型载荷工况主要考虑零位状态和摇摆状态。传力机架与锥段连接面固支,在传力机架中心的圆筒位置施加荷载,如图6所示。根据轻量化设计要求,结构质量应不超过500 kg,多轮优化测试分析后确定设计域内材料体积分数为0.18。在设计域内,预设组件初始布局如图7(a)所示(设计域外的组件在迭代过程中会向设计域内移动),组件总数为128根,优化问题设计变量数目为1 152,远低于相同问题下SIMP法设计变量数量。在拓扑优化迭代阶段,对组件的转角设计变量取值范围作了约束,保证组件转角为一足够大值,以避免出现不能满足增材制造过程中对结构支撑力、热传力路径需求的大悬挑结构。

经过上述的优化过程,得到的优化结果如图7(b)所示。MMC框架下得到的优化结果有清晰的传力路径,且不存在棋盘格、大量灰度单元等问题。增加对组件角度的限制后,得到的优化结果除不可设计域位置外不存在大悬挑结构,满足增材制造的悬垂约束。

将优化后的结果导入商业CAD软件中进行模型的重构及适当的工程化调整,并在重构过程中通过静力学分析,不断更改重构模型,最终给出如图7(c)所示的最终传力机架结构设计方案。

图7 传力机架优化设计过程
Fig.7 Optimization design process of the transmission frame structure

对重构的传力机架最终设计方案几何模型划分有限元网格,重新进行有限元分析,得到对应的两个工况下的位移响应有限元分析结果如图8所示。

图8 传力机架零位状态和摇摆状态位移响应
Fig.8 The displacement response of the transmission frame structure in zero-angle state and swing state

为保证验算结果更符合机架的实际工作条件,在重分析步骤将机架和锥段、传力座共同进行有限元分析。在校核有限元模型中,锥段、传力机架和传力座通过网格共节点的方式连接,载荷施加在传力座上,并对锥段底部固支。重构后的机架总质量为405.60 kg,具有较好的结构刚度,在零位工况下轴向位移和横向位移分别为4.82 mm和1.08 mm,在摇摆工况下轴向位移和横向位移分别为4.81 mm和1.09 mm。结构应力云图如图9所示,零位工况及摇摆工况下结构应力基本能保持在抗拉强度以下。重构模型结构添加的翼板结构有效增加了结构的刚度,同时翼板结构使得机架能在增材制造加工过程中形成自支撑,满足增材制造悬垂约束。校核结果验证了本文针对运载火箭发动机传力机架的优化设计方法的有效性。

图9 传力机架零位状态和摇摆状态应力响应
Fig.9 The stress response of the transmission frame structure in zero-angle state and swing state