响应面法是数据回归方法中的一种,它综合了试验设计和数学建模^[19]。该方法一般包括试验、建模、模型检验、最优化和结果验证等几个步骤。通过对设计域内部分具有代表性的点进行试验,回归拟合影响因素与优化目标之间的近似函数关系,基于一定的算法求得各因素最优水平^[20]。该方法在机械优化领域内得到了广泛的应用,是近年来高速发展的优化理论方法。

在响应面法中,影响因素的选择直接决定了优化效果,选择合适的影响因素不仅是优化成功的关键,也是减少资源消耗、加快优化进程的重要手段。目前在叶片泵的水力优化中,一般选取1～3个参数进行分析,但由于影响叶片泵性能参数众多,得到的优化模型往往还有进一步优化的空间。但是从优化效率和速度考虑,影响因素又不宜太多。

综上,选取6个结构参数对诱导轮进行优化,包括叶片倾角γ、入口安放角β₁、出口安放角β₂、分流叶片轴向位置l、入口轮毂直径D₁、出口轮毂直径D₂等,如图1所示。

图1 诱导轮参数示意图
Fig.1 Schematic diagram for parameters of inducer

为解决影响因素不同量纲所带来的不便,方便后续统一处理,将所有参数作如下线性变换:

式中影响因素X_i的设计范围是[X_1i,X_2i],i=1,2,3,…,6。

采用旋转性及外推稳健性均较好的中心复合有界设计开展试验方案设计,该试验设计的试验点分布情况见图2。

图2 中心复合有界设计试验点分布
Fig.2 Distribution of test points according to the central composite inscribed design

由于共有6个影响因素,故试验包含12个轴向点、64个立方点,另取2个中心点,共计78个试验点,即78个诱导轮方案。

利用ANSYS ICEM CFD软件对流域划分网格。采用非结构网格,并对壁面进行加密。计算域如图3所示。

图3 计算域
Fig.3 Computational domain

为提高计算方法的准确性并降低对计算资源的需求,对网格进行了无关性验证,结果如图4所示。为保证计算结果的准确性,选定总网格单元数为574万。

图4 网格无关性验证
Fig.4 Grid independence validation

采用ANSYS CFX15.0进行稳态数值计算。将常温水作为工作介质,以压力入口、质量流量出口作为边界条件,并设入口总压为0.073 MPa、质量流量为6.2 kg/s。壁面均为无滑移壁面,采用scalable壁面函数。诱导轮转速设为12 500 r/min。采用k-ε湍流模型,ZGB空化模型,饱和蒸气压为3.574 kPa,残差收敛精度设为10^-6。利用ANSYS CFX软件的session功能简化设置过程。

为使计算结果更准确,先计算无空化条件下的流场,并将其作为初场再计算空化条件下的流场。部分计算结果如表1所示(其中000-1模型和000-2模型是原始模型的两次独立的仿真计算,即两个中心点)。扬程系数定义为

式中:p_out为出口压力; p_in为入口压力; ρ为流体密度; v_t为泵叶尖速度。

表1 部分计算结果
Tab.1 Partial calculation results

考察各影响因素对诱导轮扬程和效率的影响大小,对64个立方点的计算结果进行极差分析,结果如表2和表3所示。其中K_ij是第i个因素、第j

个水平所对应的计算结果之和,k_ij是K_ij的平均值,R_i是第i个因素的极差,极差越大反映影响因素对诱导轮扬程或效率的影响越大。

表2 扬程系数极差分析
Tab.2 Range analysis of the head coefficient

表3 效率极差分析
Tab.3 Range analysis of the efficiency

从表2可得,影响因素对扬程的影响从大到小依次是:出口安放角、出口轮毂直径、入口安放角、叶片倾角、入口轮毂直径、分流叶片轴向位置。从表3可得,6个影响因素对效率的影响从大到小依次是入口安放角、出口安放角、分流叶片轴向位置、入口轮毂直径、叶片倾角、出口轮毂直径。

由于包含6个影响因素,二阶响应面模型公式为

式(3)共包含28个未知参数。根据得到的样本数据,通过线性回归可求解该模型中的所有未知参数。

为方便计算,将式(3)进行如下换算。

将式(3)改写成多元线性模型,由此得到响应面模型的线性表达形式,即

系数向量β^∧的最小二乘估计为

式中:Z为78组方案的影响因素水平矩阵; Y为78组方案的扬程系数矩阵或效率矩阵。

经过矩阵计算,分别得到扬程系数响应面模型和效率响应面模型,即

对响应面模型进行误差分析、方差分析及残差分布分析,验证模型的准确性、可靠性和适应性。

误差分析是对响应面精度评价指标的分析,包括复相关系数R²、修正复相关系数R²_a以及相对均方根误差^[21]; 方差分析是对响应面模型进行显著性检验,它可以验证模型的可靠性。

表4给出了响应面模型误差分析和方差分析的结果。结果表明,两个响应模型均具有较高的准确性和可靠性。

表4 评估结果
Tab.4 Evaluation results

下面对响应面模型的残差分布进行分析,验证响应面模型的适应性。图5和图6分别给出了残差正态概率分布图和残差与预测值分布图。图中每个点代表一个试验方案,不同颜色代表不同的值,其值从蓝到红逐渐增大。

图5 残差正态概率分布图
Fig.5 Normal probability distribution of residuals

从图5可以看到,残差正态概率总体呈线性分布,主要位于一根直线上,表明两种响应面模型具有良好的适应性。而在图6中,所有的残差均分布在两根红线内,且无明显的分布规律,亦能表明响应面模型具有良好的适应性。

图6 残差与预测值分布图
Fig.6 Distribution diagram of residuals and predicted values

综上分析,扬程系数响应面模型和效率响应面模型具有良好的准确性、可靠性和适应性,能够对优化目标进行有效、准确的预测。

利用Design-Expert软件分别求解不同寻优范围下扬程系数的最优解。下面给出了4个不同范围下的寻优结果。

1)-1≤x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆≤1

在[-1,1]寻优范围内求得最优解为x=[-1,-1,1,-0.271,-1,-1],扬程系数的预测值为0.326 6,效率的预测值为61.53%。

根据最优解给出的诱导轮参数,建立诱导轮三维模型,并进行仿真计算,得到扬程系数的仿真值为0.316 3,效率为61.21%,优化后的诱导轮扬程系数相比原始模型提升了11.06%,与预测值的相对误差为3.26%。将该优化模型命名为优化模型A。

2)-1.2≤x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆≤1.2

在[-1.2,1.2]范围内求得最优解为x=[-1.2,-1.2,1.2,-0.527,-1.2,-1.075],扬程系数的预测值为0.334 2,效率的预测值为61.06%。

经仿真计算,得到扬程系数的仿真值为0.323 2,效率为60.67%,优化后的诱导轮扬程系数较原始模型提升了13.48%,与预测值的相对误差为3.40%。将该优化模型命名为优化模型B。

3)-1.5≤x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆≤1.5

在[-1.5,1.5]范围内,求得最优解为x=[-1.5,-1.5,1.5,-0.578,-1.5,-0.979],扬程系数的预测值为0.346 0,效率的预测值为60.64%。

经仿真计算,得到扬程系数的仿真值为0.328 7,效率为61.37%,优化后的诱导轮扬程系数较原始模型提升了15.41%,与预测值的相对误差为5.26%。将该优化模型命名为优化模型C。

4)-2≤x₁,x₂,x₃,x₄,x₅,x₆≤2

在[-2,2]范围内,求得最优解为x=[-2,-2,2,-0.844,-2,-0.541],扬程系数的预测值为0.366 0,效率的预测值为60.00%。

经仿真计算,得到扬程系数的仿真值为0.319 5,效率为61.04%,优化后的诱导轮扬程系数较原始模型提升了12.18%,与预测值的相对误差为14.55%。将该优化模型命名为优化模型D。

优化结果汇总如表5所示。

表5 优化结果
Tab.5 Optimization results

从表5可以看到,在一定范围内,随着寻优范围的扩大,最优解的诱导轮扬程系数越大,预测值与仿真值之间的相对误差越大,且相对误差处于较低水平,体现了响应面模型对扬程系数预测的准确性。但是当寻优范围扩至[-2,2]时,两者的相对误差急剧增加到14.55%,响应面模型预测得到的结果明显失真,且扬程系数未继续增大,表明在该寻优范围下,扬程系数响应面模型已不再适用,无法对诱导轮扬程系数作出准确的预测。在4个优化模型中,优化模型C增压能力最高,其扬程系数较原始模型提升了15.41%。

将扬程系数最高的优化模型C与原始模型做进一步对比分析。

图7给出了优化前后的诱导轮流道轴截面压力分布对比。从图7中可以看到,优化模型的流道入口低压区明显减少,叶轮入口条件明显改善,具有更好的进口性能,且叶轮出口处高压区也明显增多,表明优化模型增压能力得到了提升。

图7 压力分布对比
Fig.7 Comparison of the pressure distribution

图8给出了90%叶高处湍动能分布对比,湍动能可以反映流道内能量的耗散程度。从图8中可以看到,在分流叶片与长叶片之间的流道的湍动能明显高于其他区域,且优化后湍动能小幅下降,出口处的能量损失减少。此外,优化模型与原始模型相比,入口处的湍动能均处于较低的水平,这可能是因为优化后减弱了进口回流,改善了诱导轮入口条件,使得入口能量损失减少。

图8 90%叶高处湍动能分布对比
Fig.8 Comparison of the turbulent kinetic energy distribution at 90% blade height

综上对比分析,优化后的诱导轮做功能力更强,入口条件更好,流场改善明显。