空间推进系统设计领域广泛使用具有螺纹连接、箍带连接的结构,易出现非线性模态问题,如推进系统用电磁阀、气瓶、管路组件会因螺纹、箍带松动造成模态频率降低。航天产品对力学环境条件较为敏感,而非线性模态缺乏成熟的仿真方法,这一矛盾使得非线性模态机理研究愈发迫切。如何进行非线性模态仿真,成为空间推进系统设计过程中亟待解决的问题。

非线性模态研究发展过程中,Rosenberg的工作具有重要意义^[1-2]。Rosenberg 于20世纪60年代初,在对非线性系统的自由振动进行研究时引入了非线性模态的概念。20世纪90年代,Shaw等提出了阻尼非线性模态,将相空间的不变流形定义为非线性模态,系统初始状态符合某一非线性模态,随后按照该模态运动^[3-4]。刘鍊生等推广了相似模态的概念^[5-6],使其能够应用于非线性系统。李诚等提出基于谱单元的伽辽金法求解不变流形定义下的非线性模态曲面,获得两自由度非线性系统更高精度的非线性模态曲面解^[7]。胡晓君应用混合摄动伽辽金法进行单自由度体系的非线性随机结构自由振动数值分析^[8]。近20年来,非线性模态理论发展仍停留在简单自由度系统分析阶段。

非线性模态分析由于其复杂性,使其长期处于理论研究状态,工程实际多采用模态试验与线性模态仿真结合的方法。代鹏等进行了脉冲等离子推进系统模态分析和试验验证^[9]。杜大华等进行了火箭发动机涡轮盘模态影响因素与振动安全性分析^[10]。田彤辉等研究了冲击荷载下级间螺栓法兰连接结构失效实验与数值仿真^[11]。

直接应用非线性理论进行模态仿真存在困难,但模拟试验过程通过功率谱对系统动态参数进行识别,将瞬态仿真方法与信号分析方法相结合,可能成为解决非线性模态问题的另一种途径。功率谱密度(power spectral density,PSD)分析法应用于系统参数识别始于文献[12]。在时变系统或非线性系统参数识别相关研究领域,张洁等进行了机械变速过程的瞬时参数识别及频谱分析^[13]; 王豪等应用图像处理技术,提出一种自适应时频脊线的方法,对时变结构在随机激励下的瞬时频率进行了辨识^[14]; 王晓敏等研究了在白噪声激励下非线性声学超材料的随机响应^[15]; 许文峰等研究了具有非线性刚度边界的杆梁结构的动态特性^[16]。传统研究认为瞬态时域仿真应用存在计算量大、求解过程慢、数据处理过程复杂等问题,但近年来随着计算机能力的快速提升,基于瞬态时域法与信号后处理进行动力学仿真在多场景下已具备工程应用条件。聂肇坤等对运载火箭舱段连接结构进行了简化建模,采用冲击、周期信号时域非线性仿真,对时域结果进行FFT变换后与精细模型进行了对比验证,使得简化模型在保留线性计算效率的同时接近精细模型的计算精度^[17]。乐晨等进行了运载火箭大直径螺栓承受拉弯耦合载荷的失效判据研究^[18]。

基于计算机能力的提升与功率谱在模态试验中应用的优势,本文提出一种全新的瞬态动力学仿真与功率谱密度分析结合的方法,应用于空间推进系统电磁阀线圈螺纹松动非线性模态仿真。在时域进行接触非线性仿真,并将时域结果变换为功率谱,在频域进行非线性模态分析,关注重点为接触非线性对模态频率的影响。

某型号电磁阀是推进系统关键组件,线圈元件通过外套螺母连接于电磁阀本体,飞行试验过程中因随机振动导致线圈松动,出现模态偏移,本文以该阀门为研究对象,采用功率谱分析法进行非线性模态仿真方法研究。阀门随机试验条件以PSD形式给出,如表1所示,随机试验状态如图1所示。

表1 随机试验条件
Tab.1 Random test conditions

图1 电磁阀振动试验
Fig.1 Solenoid valve vibration test

采用随机试验条件作为结构的激励条件,可在较短的计算时间内激发结构多阶模态响应,相较正弦扫描等试验条件更适用于时域仿真分析。但应用随机试验条件进行时域仿真需要对PSD进行时域拟合,拟合出的随机试验条件具备相同的统计性质,但并不唯一。随机瞬态动力学分析首先需要进行时域随机数据拟合方法研究。

在现代信号分析中,PSD分析是研究具有时不变、各态历经、平稳随机信号的重要途径,PSD可反映随机信号各频率成分功率的分布情况,反映各阶模态的共振效果。随机信号的研究往往需要转换到频域进行,而理论随机信号通常是无限长的,需要使用有限长信号对真实PSD进行估计。经典谱估计方法包括维纳-辛钦定理、周期图法、Welch法等,其中周期图法为应用广泛且最具代表性的方法,其基本原理是对观测到的数据进行快速傅里叶变换(fast Fourier transform,FFT),然后取模的平方作为真实PSD估计。

取平稳随机信号X(n)的有限个观察点X(0),X(1),…,X(n),则傅里叶变换过程为

周期图法功率谱为

瞬态动力学仿真计算量较大,仿真时间较长,应在满足仿真需求的前提下尽量减少仿真资源的使用,减少仿真时间。随机条件最低频率为10 Hz,保证10倍最低频率采样,拟合总时长1 s。

对随机试验条件进行时域数据拟合与验证过程如图2所示。

图2 时域随机条件合成流程
Fig.2 Time domain random conditional synthesis process

依据图2(a)流程进行拟合验证,首先由计算机生成两列1 s均匀分布的白噪声U_N、V_N,应用文献[19]的方法获取正态分布的数据列X_N,即

将数据通过截止频率为随机振动条件最高频率10倍的低通滤波器; 对X_N进行FFT变换后在频域进行增益调整,并采用周期图法进行PSD计算,使其符合试验曲线,再进行逆FFT变换,拟合的时域信号如图2(b)所示。

图2(c)为拟合时域加速度PSD曲线与标准PSD曲线对比。对拟合时域数据进行概率密度统计[见图2(d)],表明拟合数据具备较好的正态分布特征。在时域对拟合数据进行数学期望与均方根计算,如表2所示。其中时域数据数学期望接近0,均方根为12.2 g,与表 1试验条件均方根加速度符合较好,作为后续瞬态动力学仿真的输入。

表2 数据统计性质
Tab.2 Statistical properties of data

本文研究随机功率谱的时域数据拟合与验证方法,并应用于某阀门随机振动线圈松动仿真,得到了阀门非线性模态频率,从机理上定量解释线圈松动对阀门模态的非线性影响。

本文提出的非线性模态仿真方法引入了接触非线性的影响,通过预紧力试验对摩擦因数进行标定后,对比采用保守边界条件的线性方法,仿真结果与试验结果误差从8.69%降低为0.96%。