火箭在实际飞行过程中存在质量变化、操作面变化及弹性变形,其影响因素及响应过程十分复杂。为方便研究,设火箭为一个质量不变的,在气动力、推力和重力共同作用下的运动刚体,基于以下假设建立火箭动力学方程。

1)不考虑地球自转的影响,忽略牵连加速度、柯氏加速度。

2)不考虑地球曲率的影响。

3)仅考虑火箭在铅垂平面内的飞行,火箭飞行为二维运动。

4)大气相对于地球静止(不考虑风的干扰,特别是侧向力)。

5)每一瞬时飞行器质量及其分布不变,不考虑弹体弹性变形,将火箭简化为质点。

通过以上假设,火箭飞行中主要受发动机推力、地球引力和气动力的作用,如图1所示。

基于以上假设,可建立火箭弹道动力学模型,即

式中:r=(l,h)为火箭位置向量; v=(v_x,v_y)为火箭速度向量; F=(f_x,f_y)为火箭发动机推力向量; D=(d_x,d_y)为气动阻力向量; G=(0,-mg)为重力; m为火箭质量; g₀为海平面重力加速度; I_sp为发动机比冲,即单位质量推进剂所产生的冲量,计算式为

I_sp=I^v_sp+(I^SL_sp-I^v_sp)e^-h/h₀ (4)

式中:I^v_sp为真空比冲; I^SL_sp为海平面比冲。

气动阻力向量D=(d_x,d_y)计算式为

式中:C_D为阻力系数; A_ref为参考面积; ρ(h)为大气密度,计算式为

ρ(h)=ρ₀e^-h/h₀ (6)

式中: ρ₀为海平面大气密度; h₀为密度标高。

图1 火箭受力分析
Fig.1 Force analysis of launch vehicle

针对发动机推力谱、涡轮泵转速谱和功率谱进行载荷谱编制。将式(1)～式(3)沿水平和垂直方向展开,得出

根据式(7)～式(8)得到推力分量表达式为

f_x=ma_x-d_x (10)

f_y=ma_y+mg-d_y (11)

将式(10)～式(11)代入式(9),得到质量变化表达式为

将飞行不同阶段的质量设置为边界条件,采用欧拉法求解式(12)得到一子级质量变化,结合式(10)与式(11)编制火箭一子级发动机推力谱。

火箭飞行过程中的质量变化主要是推进剂的消耗,因此火箭的质量变化量m^·与推进剂质量流量等效,假设氧化剂和燃料的质量混合比为k,氧化剂质量流量m^·_O和燃料质量流量m^·_Γ计算式为

涡轮泵转速与推进剂的体积流量成正比关系,推进剂的体积流量与质量流量相差一个常值密度,因此认为涡轮泵的转速与推进剂质量流量成正比。

氧化剂泵功率N_H.O与燃料泵功率N_H.Γ计算式为

式中:H_H.O和H_H.Γ分别为氧化剂泵和燃料泵的扬程(压头); η_H.O和η_H.Γ分别为氧化剂泵和燃料泵效率。

火箭飞行所需总功率N_T为推进剂泵(燃料泵和氧化剂泵)运转所需功率和带动附件所需功率之和,计算式为

在整个飞行过程中假设推进剂泵效率、扬程及涡轮泵带动的附件所需功率均保持不变,且推进剂质量混合比也保持不变,则涡轮功率N_T与推进剂质量流量成正比。

设火箭一子级在满功率工作时推力、流量、转速等载荷参数均达到最大,整个重复使用过程按照推进剂消耗的百分比变化,计算得到涡轮泵转速和功率等参数变化,实现涡轮泵转速谱和功率谱的编制。

Falcon 9于2017年6月3号执行NASA国际空间站补给任务,发射场地位于佛罗里达州肯尼迪航天中心的LC-39A,于发射场陆地回收。一子级使用9个梅林(Merlin)1D发动机,二子级使用1个Merlin 1D真空版发动机。单个Merlin 1D发动机推力850 kN左右,海平面比冲283 s,真空比冲312 s。该发动机采用燃气发生器循环,使用煤油(RP-1)和液氧作为火箭推进剂^[18]。一子级发射回收过程中的相关主要节点如表1所示。

表1 CRS-11一子级主要节点
Tab.1 CRS-11 primary nodes of the first sub-stage

对一子级的整个飞行剖面进行分析,如图2所示。在整个任务过程中,火箭点火起飞(点1); 上升到一定高度后,一子级关机(点2); 随后与火箭主体分离(点3); 一子级与火箭主体分离后在氮冷气推力系统控制下进行翻转初步调整姿态,之后一子级反推点火(一子级第二次点火启动,点4); 陆上回收需要折返飞行点火持续一段时间后关机(点5); 此后,一子级栅格翼打开准备控制一子级飞行姿态及方向; 在大气层边缘一子级再入点火(一子级第三次点火,点6)进行减速,降低一子级的速度避免气动加热过大; 一段时间后一子级发动机关机(点7); 之后通过栅格翼来保持一子级箭体下降姿态稳定; 一子级发动机最后一次点火(点8)是一子级着陆点火使一子级箭体再次减速并最终着陆,发动机关机(点9)。

图2 Falcon 9 CRS-11任务一子级飞行剖面
Fig.2 Falcon 9 CRS-11 mission first sub-stage flight profile

将图2中高度-时间和高度-水平距离2个飞行剖面作为输入,采用中心差分法计算一子级的飞行速度与加速度。一子级的飞行速度与飞行加速度如图3和图4所示。

图3 火箭一子级飞行速度曲线
Fig.3 Flight velocity curve of the first sub-stage

图4 火箭一子级飞行加速度曲线
Fig.4 Flight acceleration curve of the first sub-stage

由图3与图4可以看出,火箭发射后一子级的速度与加速度均逐渐增加,在关机时达到最大。随后一子级与火箭主体分离,加速度急剧下降,速度持续下降。一子级反推点火后速度下降加快,加速度先是急剧增大,后缓慢增大,这是由于反推点火时一子级火箭姿态已经调整,此时推力起减速作用。在反推关机前速度有一段增长,这是由于在反推点火时一子级还未到达最远点,在反推点火期间火箭一子级逐渐调整飞行姿态,以便一子级能够在发射场降落,此时的速度增长是由水平方向速度增大造成。反推关机后在气动阻力和重力共同作用下,速度先减小后又增加,加速度下降并保持在平稳水平。进入大气层后由于气动阻力影响,加速度有所增加。一子级再入点火后速度快速降低,加速度增大。随后一子级关机,速度与加速度持续下降,这是由于此时速度过大,一子级箭体所受气动阻力大于重力,总的受力方向与速度方向相反,导致速度在发动机关机状态时仍在持续减小。此后一子级着陆点火减速,加速度减小,由于在最后着陆瞬间有一个较大的反冲力,着陆关机时刻存在较大极值。

飞行动压可以部分反映火箭在飞行过程中所受的气动载荷情况,是火箭总体设计和结构载荷中需要考察的重要指标,计算式为

p=1/2ρ(h)V² (18)

一子级动压曲线如图5所示。在上升阶段一子级动压在70 s左右到达极值,约20 kPa。在回收过程中,动压在着陆点火前动压达到最大,约50 kPa。并且40 km以下同样高度回收段的动压相较于发射段的动压大,这是由于同样高度回收段一子级速度大于发射段。在60 km以上动压几乎为零,这是由于大气密度逐渐减少。结合一子级飞行过程中的动压,根据式(5)可获得一子级箭体的气动阻力。

图5 火箭一子级动压曲线
Fig.5 Dynamic pressure curve of the first sub-stage

基于2.2节中得到的飞行数据,采用所建立的载荷谱编制方法,对CRS-11任务进行推力谱、转速谱与功率谱的编制。将一子级飞行过程中加速度和气动阻力代入式(10)～式(12),得到一子级的推力和质量变化,如图6所示。结合质量变化与推力之间的关系可以求出飞行剖面推力曲线,如图7所示。

由图6可知,一子级工作时质量逐渐减小,在4次发动机工作时间段内,质量消耗的速度即质量随时间变化曲线斜率并不相同。结合图7的一子级推力曲线可知,发动机4次点火工作时的推力并不相同。点火后在稳定时段(90 s后)推力约为7 426 kN,反推点火工作期间(158～213 s)推力约为2 230 kN,再入点火工作期间(370～386 s)推力约为2 400 kN,着陆点火期间推力约为820 kN。一子级发动机由9个Merlin 1D组成,单个Merlin 1D推力850 kN左右,可见上升期间9台发动机全部工作。反推点火和再入点火有3台发动机工作,着陆点火只有1台发动机工作。

图6 火箭一子级质量变化曲线
Fig.6 Mass change curve of the first sub-stage

图7 火箭一子级推力变化曲线
Fig.7 Thrust change curve of the first sub-stage

在一子级推力曲线中,点火发射后推力上升一段时间后有一个“下凹”(50～80 s),此后推力才相对稳定。推力逐渐上升是由于外界大气压的变化,随着火箭高度逐渐增加,火箭比冲增加,同等质量的推进剂产生的推力逐渐增加。推力曲线的“下凹”是为了降低跨声速段及最大动压段的气动载荷。结合图3速度曲线,在75 s左右速度到达声速(340 m/s),结合图5动压曲线,在75 s左右到达最大值20 kPa左右。

SpaceX官方发布的Falcon 9一子级点火发射阶段推力约7 686 kN^[18],本文计算得到的一子级点火发射阶段推力为7 426 kN,两者偏差为3.4%。根据本文计算得到的发射、反推点火、再入点火及着陆点火4个阶段推力数据分析得到各阶段分别有9台、3台、3台、1台发动机工作,与SpaceX Falcon 9 CRS-11任务发动机工作状态一致。火箭点火发射后于78 s达到最大动压^[19],本文计算分析点火发射后于75 s达到最大动压,时间节点基本吻合。尽管对飞行动力学方程及工质消耗过程进行了简化处理,与实际飞行任务存在差异,然而所提方法计算分析得到的推力数值、各阶段发动机工作状态与任务关键节点一致性较好,因此认为涡轮泵推力谱建立方法具有较好的可行性及适应性。

将一子级的质量变化作为指标,研究一子级发射回收过程中油门(节流)变化,将火箭一子级发动机第一次点火工作期间的单个Merlin 1D发动机质量消耗量的最大值作为100%油门,依次计算整个飞行过程中各阶段单个发动机的油门。回收过程只有部分发动机工作,计算时考虑工作的发动机,结果如图8所示。

图8 火箭一子级油门曲线
Fig.8 Throttle change curve of the first sub-stage

火箭飞行过程中的质量变化主要是推进剂的消耗,Merlin 1D使用的推进剂是液氧-RP-1双组元推进剂,由式(13)、式(14)可得到液氧和RP-1的质量变化。整个飞行任务过程按照推进剂消耗速度(节流)的百分比变化,推导涡轮泵的转速和功率变化。

设火箭一子级在满功率工作时推进剂流量、转速和功率等载荷参数均达到最大,Merlin 1D额定工作时以36 000 r/min的速度工作,提供7 500 kW的功率。按照质量变化百分比对发动机转速谱及功率谱进行编制,结果如图9、图 10所示。

图9 火箭一子级发动机涡轮泵转速谱
Fig.9 Speed spectrum of the first sub-stage engine turbopump

图 10 火箭一子级发动机涡轮泵功率谱
Fig.10 Power spectrum of the first sub-stage engine turbopump

从图9和图 10可以看出,火箭发射后涡轮泵转速与功率急剧上升,随后维持稳定100%全力工作。50 s左右载荷谱有一个“下凹”,该现象是为了降低跨声速段及最大动压段的气动载荷。当箭体速度超过音速并越过最大动压后,涡轮泵载荷又重新增加至额定转速,满功率工作。142 s时一子级火箭关机,涡轮泵载荷迅速下降,一子级和火箭主体分离后,一子级进行反推点火,涡轮泵载荷再次急剧上升。不过此时涡轮泵转速和功率并未到达额定100%状态,而是以大约88%的转速和功率工作。反推关机后涡轮泵载荷谱再次急速下降,一子级经过一段时间的飞行后进入大气层,发动机再入点火,涡轮泵载荷谱再次以100%状态工作16 s至关机。一子级最后一次点火为发动机着陆点火,涡轮泵转速和功率瞬间达到额定100%状态,随后一子级火箭降落,垂直回收飞行任务完成。