材料在高周或超高周范围内的疲劳特性常用应力S与寿命N经验关系(S-N曲线)的形式描述,而考虑到材料存在一定的疲劳极限,一般使用如下三参数形式。

C=N(S-S_f)^b　　(1)

式中:C、b为材料常数; S_f为在所考虑的寿命段内对应的疲劳极限。

在振动疲劳中,一般采用功率谱密度(power spectral density, PSD)的形式描述应力的频域分布。经过对不同形状PSD进行分析,Dirlik利用一个指数函数、一个带有Rayleigh变量的Rayleigh函数和一个标准的Rayleigh函数组成的经验公式描述应力幅值的概率密度函数^[28],即

式中各参数定义为

式中m_n为应力PSD的n阶谱距。

于是,在材料S-N曲线基础上,给定危险点应力PSD,结构危险点的疲劳寿命期望为

通常情况下,材料的S-N曲线由应力均匀的标准试验件通过试验方式获得,而由于尺寸差异及倒角、焊接等几何变化因素,结构危险部位的应力状态与标准试验件差异很大,因此直接利用式(4)评估结构寿命的风险较大。

注意到萌生阶段裂纹尺寸相对较小,可认为在萌生阶段,各候选裂纹相对独立^[29]。因此,本文引入裂纹萌生特征体积(下文简称“特征体积”)假设1,即:存在疲劳特征尺寸l_c,在其对应特征体积V_c=l³_c内,疲劳裂纹独立萌生并发展成主裂纹,进而导致结构疲劳断裂。于是,具有一定体积的结构危险部位可细分为多个特征体积,分别考虑其寿命。在特征体积内,应力差异相对原尺度大幅缩小,因此,可选择介于特征体积应力极值范围内某一应力值,对特征体积进行寿命评价。

由于危险部位相对于结构本身尺寸较小,因此,本文引入假设2:危险部位内各特征体积的应力PSD谱的谱型一致。由此,对真实结构危险部位,在累积分布S(V)已知的情况下,对其按照特征体积细分,获得系列特征体积对应应力水平{S_v}。取最危险点应力S_ref及其PSD G_ref(f) 为参考,则各特征体积PSD定义为

此时,相同材料特征体积寿命应服从相同的疲劳特性规律。对不同体积结构,包括标准试验件、模拟件及真实发动机结构件,按照相同特征体积进行细分,即可关联其寿命等效关系。

在体积细分及寿命等效假设的基础上,结构危险区域可认为是特征体积的串联集合,结构寿命取串联集合中的最小值。结合式(4)及式(5),各特征体积振动疲劳寿命为

则结构危险部位寿命满足

T_s=min{T_v}　　(7)

可见,在不考虑特征体积材料特性差异条件下,危险部位对应寿命由最危险点应力特征唯一确定,与点应力确定性寿命相同。但实际上,材料的振动疲劳S-N曲线在确定性取值的基础上存在一定的分散性,本文以不同的{C_v}表征不同特征体积的振动疲劳特性差异,满足

式中:C^-为特征体积尺度下材料S-N曲线常数项对数均值; δC为常数项分散水平; N(0,1²)为标准正态分布。于是,式(6)修改为

此时,危险部位中其他特征体积振动寿命有一定概率超过最危险点,由此,在振动疲劳寿命评估中引入应力体积特征的影响。

随着结构特征的引入,材料疲劳S-N曲线的分散性被引入结构振动疲劳寿命模型中,获得的寿命具有一定的分散性。自然地,将材料弹性性能分散性引入,可更真实地反映寿命的分散。本文用正态分布描述材料的弹性性质参数E,即

式中:E^-、δE为弹性参数的均值及标准差; N(0,1²)为标准正态分布; R^Ⅰ为材料弹性性质随机数发生器,左侧参数为分布类型,右侧参数为分布控制参数。引入广义模型M^Ⅰ代替有限元模型,则寿命计算所需应力体积分布S(V)、危险点应力S_ref及其PSD G_ref(f)与有限元模型材料弹性参数E、载荷参数θ_l、几何参数θ_g之间存在如下对应关系。

通常,M^Ⅰ通过总结危险区域应力特征与有限元模型参数之间关系获得。

同理,利用材料疲劳特性随机数发生器R^Ⅱ描述材料振动疲劳特性的分散性,即

并引入广义模型M^Ⅱ代替第1节中建立的结构振动体积寿命评估模型,即

式中N为结构寿命。

综上,建立具有两层结构的结构振动疲劳体积寿命数值模型,如图1所示。模型输入为参数组θ={θ_l,θ_g,E^-,δE,l_c,C^-,δC,b,S_f},输出为结构振动疲劳寿命N。对该数值模型多次抽样,可获得结构振动寿命的分布,进而可获得可靠性寿命。

图1 结构振动疲劳体积寿命数值模型
Fig.1 Numerical model of vibration fatigue volume life for structure

由第1节理论模型可知,结构寿命取决于危险区域内各特征体积寿命的最小值。因此,材料在特征体积尺度下的疲劳特性必然不同于宏观疲劳特性。需借助振动疲劳体积寿命数值模型,在结构振动疲劳数据的基础上,对小尺度下材料疲劳特性参数进行识别。

以图2所示某发动机管路振动模拟件为研究对象,其振动应力分布如图3所示,可见,由于局部倒角的存在,模拟件在考核部位存在明显的应力梯度。对该模拟件开展振动疲劳试验,获得不同振动量级下试验件振动疲劳寿命,其中,载荷及试验件安排如表1所示。取疲劳特征长度l_c=0.3 mm,参照2.1节建模方法,建立模拟件振动疲劳体积寿命数值模型,仿真获得其不同量级下振动寿命分布。以各量级仿真寿命与试验寿命均值误差最小为目标,优化识别材料小尺度疲劳特性参数。

图2 管路模拟件
Fig.2 Pipeline simulated specimen

图3 管路模拟试验件振动应力分布
Fig.3 Vibration stress distribution of pipeline simulated specimen

表1 模拟试验件振动疲劳试验载荷汇总
Tab.1 Summary of vibration fatigue test loads for simulated specimens

优化流程如图4所示,采用三阶优化模型进行优化,即:首先进行全局遗传算法寻优,确定全局峰值区域; 然后进行局部遗传算法寻优,对局部峰值区域进行细化; 最后利用共轭梯度法精确确定局部峰值。优化识别的小尺度疲劳S-N特性参数如表2所示,其中S₀为参考应力。优化对比结果如图5所示,各载荷量级下,仿真寿命分布覆盖试验,均值曲线均匀穿过试验均值,各量级平均寿命在试验平均寿命1.5倍分散带内(最大误差22.92%)。

图4 材料小尺度疲劳特性参数识别三阶优化模型
Fig.4 Third-order optimization model for the identification of small-scale fatigue characteristic parameters of materials

表2 材料小尺度(lc=0.3 mm)疲劳特性参数识别
Tab.2 Identification of small scale fatigue characteristic parameters of materials(lc=0.3 mm)

图5 仿真优化后寿命均值与试验对比
Fig.5 Comparison of the mean life between test and optimized simulation

疲劳特征长度l_c是振动疲劳体积寿命模型的关键参数,其取值直接决定了结构危险区域的细分程度。对于相同工艺成型材料,在相似载荷环境下,疲劳特征长度应取固定值。参考2.2节疲劳特征长度l_c=0.3 mm时材料小尺度疲劳特性参数识别过程,本文进一步对l_c=0.2 mm及l_c=0.4 mm的材料疲劳特性参数进行识别。各特征长度下识别参数汇总于表3,可见各组参数取值较为接近,表明本文寿命模型的稳定性较高。

表3 不同疲劳特征长度下材料小尺度疲劳特性参数对比
Tab.3 Comparison of small scale fatigue characteristic parameters of materials under different fatigue characteristic length

利用似然函数评价不同疲劳特性参数仿真数据与试验数据的近似程度,定义如下

式中:L为对数似然值; n_l、n^～分别为试验载荷级数及每级载荷下试验寿命点数; f_i及θ_i为i级载荷下仿真寿命分布拟合分布密度函数及其参数; f_i(N^～_j|θ_i)描述i级载荷下寿命N^～_j在仿真分布中的概率密度。根据定义,L值越小,仿真数据与试验数据相似程度越高。以2.2节建立的模拟件振动疲劳体积寿命模型为基础,分别输入各组参数,进行100次抽样,获得仿真与试验数据的似然程度值分布,如图6所示,观察发现:l_c=0.3 mm时识别的参数组平均似然程度最高。因此,后续分析时选择疲劳特征长度l_cc3 mm时的疲劳特性参数作为同类材料在振动环境下寿命评估的基础数据。

图6 不同特征长度识别参数下仿真与试验似然程度抽样
Fig.6 Simulation and test likelihood sampling of identification parameters under different feature length